sommatoria simmetrica
sommatoria simmetrica
qualcuno riesce a spiegarmi semplicemente cosa è una sommatoria simmetrica? magari facendo un piccolo esempio pratico?
Re: sommatoria simmetrica
La "somma simmetrica" (indicata con $\sum_{sym}$) è sostanzialmente una notazione che permette di scrivere in forma più sintetica delle lunghe espressioni algebriche, e a quanto ne so esiste per enunciare in modo umano cose come disuguaglianze di Schur, Bunching, Mac Laurin (per risolvere disuguaglianze sviluppando tutto con la massima forza bruta possibile), oppure per il teorema che dice che le espressioni simmetriche si scrivono bene come funzioni simmetriche elementari (i coefficienti di un polinomio che ha per radici le variabili da sommare). Spesso le variabili della somma simmetrica sono sottointese, per esempio se nel problema compaiono solo le variabili $a$ e $b$, allora
$$\sum_{sym}a=a+b$$
Bisogna stare attenti al fatto che una somma simmetrica su $n$ variabili distinte ha sempre $n!$ termini (la somma è presa su tutte le permutazioni delle variabili), e quindi, se ad esempio le variabili sono $a,b$ e $c$, vale:
$$\sum_{sym}a=\underbrace{2a+2b+2c}_{3!=6\ \ \ \textrm{termini}}$$
Se prendiamo $4$ variabili e complichiamo un po' l'espressione dentro la somma simmetrica, si capisce perché siano state introdotte
$$\sum_{sym}a^3b=\underbrace{2a^3b+2a^3c+2a^3d+2b^3a+2b^3c+2b^3d+2c^3a+2c^3b+2c^3d+2d^3a+2d^3b+2d^3c}_{4!=24\ \ \ \textrm{termini}}$$
Ogni termine è contato due volte perché conta l'ordine, e quindi $a^3bc^0d^0$ è considerato diverso da $a^3bd^0c^0$.
Un'altra cosa fondamentale è la distinzione dalle sommatorie cicliche (sulle quali non ci sono grandi teoremi, ma usarle sveltisce i conti); la somma ciclica (indicata con $\sum_{cyc}$) su $n$ variabili ha solo $n$ termini (ovvero le $n$ permutazioni cicliche). Se la sommatoria di prima fosse stata ciclica, il risultato sarebbe stato:
$$\sum_{cyc}a^3b=\underbrace{a^3b+b^3c+c^3d+d^3a}_{4 \ \ \ \textrm{termini}}$$
Sperando di essere stato almeno un po' d'aiuto...
EDIT: corretto un typo
$$\sum_{sym}a=a+b$$
Bisogna stare attenti al fatto che una somma simmetrica su $n$ variabili distinte ha sempre $n!$ termini (la somma è presa su tutte le permutazioni delle variabili), e quindi, se ad esempio le variabili sono $a,b$ e $c$, vale:
$$\sum_{sym}a=\underbrace{2a+2b+2c}_{3!=6\ \ \ \textrm{termini}}$$
Se prendiamo $4$ variabili e complichiamo un po' l'espressione dentro la somma simmetrica, si capisce perché siano state introdotte
$$\sum_{sym}a^3b=\underbrace{2a^3b+2a^3c+2a^3d+2b^3a+2b^3c+2b^3d+2c^3a+2c^3b+2c^3d+2d^3a+2d^3b+2d^3c}_{4!=24\ \ \ \textrm{termini}}$$
Ogni termine è contato due volte perché conta l'ordine, e quindi $a^3bc^0d^0$ è considerato diverso da $a^3bd^0c^0$.
Un'altra cosa fondamentale è la distinzione dalle sommatorie cicliche (sulle quali non ci sono grandi teoremi, ma usarle sveltisce i conti); la somma ciclica (indicata con $\sum_{cyc}$) su $n$ variabili ha solo $n$ termini (ovvero le $n$ permutazioni cicliche). Se la sommatoria di prima fosse stata ciclica, il risultato sarebbe stato:
$$\sum_{cyc}a^3b=\underbrace{a^3b+b^3c+c^3d+d^3a}_{4 \ \ \ \textrm{termini}}$$
Sperando di essere stato almeno un po' d'aiuto...
EDIT: corretto un typo
Ultima modifica di Lasker il 25/07/2014, 15:30, modificato 1 volta in totale.
Cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due? Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani.
PRIMA FILA TUTTI SBIRRI!
#FREELEPORI
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Re: sommatoria simmetrica
allora grazie innanzitutto per la risposta ma purtroppo sono ancora confuso ad esempio in questo caso perchè ti risulta: $2a+2b+2c$??
pensandoci ora avrei detto $3!(a+b+c)$ nel senso che permuto la somma?Lasker ha scritto: Bisogna stare attenti al fatto che una somma simmetrica su $n$ variabili distinte ha sempre $n!$ termini (la somma è presa su tutte le permutazioni delle variabili), e quindi, se ad esempio le variabili sono $a,b$ e $c$, vale:
$$\sum_{sym}a=\underbrace{2a+2b+2c}_{3!=6\ \ \ \textrm{termini}}$$
Re: sommatoria simmetrica
In pratica nel nostro caso vale $\sum_{sym}a=\sum_{sym}a^1b^0c^0$ (e fin qui siamo tutti d'accordo); sviluppando il RHS senza pensarci troppo viene:
$$\sum_{sym}a^1b^0c^0=a^1b^0c^0+a^1c^0b^0+b^1a^0c^0+b^1c^0a^0+c^1a^0b^0+c^1b^0a^0=\underbrace{a+a+b+b+c+c}_{6\ \ \textrm{termini, come ci aspettavamo}}$$
Bisogna contare tutte le permutazioni delle variabili, anche se sono uguali ad alcune già saltate fuori in precedenza... Usando la regoletta dei $n!$ termini ti accorgi subito se c'é qualcosa che non va (di solito se c'è un errore mancano alcuni termini).
$$\sum_{sym}a^1b^0c^0=a^1b^0c^0+a^1c^0b^0+b^1a^0c^0+b^1c^0a^0+c^1a^0b^0+c^1b^0a^0=\underbrace{a+a+b+b+c+c}_{6\ \ \textrm{termini, come ci aspettavamo}}$$
Bisogna contare tutte le permutazioni delle variabili, anche se sono uguali ad alcune già saltate fuori in precedenza... Usando la regoletta dei $n!$ termini ti accorgi subito se c'é qualcosa che non va (di solito se c'è un errore mancano alcuni termini).
Cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due? Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani.
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Re: sommatoria simmetrica
ok grazie penso di aver capito circa:)
Re: sommatoria simmetrica
Continuo qua per non creare un nuovo topic.
Se ho capito bene per fare la sommatoria ciclica serve avere una n-upla ordinata in modo damandare ogni volta $x_1 \rightarrow x_2, x_2 \rightarrow x_3 \dots x_{n-1} \rightarrow x_n, x_n \rightarrow x_1$ no?
Se la n-upla non fosse ordinata avrebbe senso farla?
Se ho capito bene per fare la sommatoria ciclica serve avere una n-upla ordinata in modo damandare ogni volta $x_1 \rightarrow x_2, x_2 \rightarrow x_3 \dots x_{n-1} \rightarrow x_n, x_n \rightarrow x_1$ no?
Se la n-upla non fosse ordinata avrebbe senso farla?
"In geometria tutto con Pitagora, in algebra tutto con Tartaglia"
Re: sommatoria simmetrica
Potrei sbagliarmi di grosso, ma una n-upla si distingue da un insieme a caso per l'ordine e quindi una n-upla non ordinata non dovrebbe esistere. Nel caso della somma ciclica, immagina le variabili in una circonferenza in cui la prima posizione la ha. [tex]X_1[/tex] che è preceduta da [tex]X_n[/tex]. Il senso orario sarebbe l'ordine.