Dimostrazioni con serie di numeri

[Toadino2]

Buongiorno, avrei una domanda da fare sulle dimostrazioni:
Ci sono alcuni quesiti, delle gare di secondo e terzo livello (provinciali e nazionali) che spesso chiedono di trovare tutti i numeri, o serie di numeri, che soddisfino una determinata condizione: per esempio "determina tutte le terne di numeri interi positivi tali che ognuno sia minore del successivo, il MCD sia 1 e che ogni numero sia divisore della somma degli altri due".
Il problema, almeno per me, qui, è che spesso vengo colto da dubbi, ossia anche se trovo alcune coppie/terne/qualsiasicosasiano, dopo mi rimane sempre l'incertezza che ne sia rimasta qualcuna che non ho scoperto (e come posso escluderne la possibilità, data la vastità del mondo dei numeri?) e quindi passo tanto tempo su un quesito, chiedendomi se le ho trovate davvero tutte.
Ci sono metodi particolari per risolvere questi tipi di problemi?

[Federico II]

In generale penso di no, la cosa varia da problema a problema, per esempio in quello che hai detto tu come esempio se vai a vedere la soluzione devi dimostrare che sono a due a due coprimi, e visto che tutti dividono $a+b+c$ allora $abc|a+b+c$, quindi il prodotto non può essere maggiore della somma, quindi $ab$ vale al massimo $3$, provi tutti i casi e hai fatto, ma in altri problemi la strategia è completamente diversa...

[Toadino2]

Evviva... va be', mi adatterò...
Solo un problema... fino a poco fa non sapevo cos'era un numero coprimo...
Grazie lo stesso!

[Toadino2]

Aspetta un attimo, però...
Nella soluzione dice: dimostraimo che i numeri sono coprimi a due a due, e basta mostrare che MCD(a,b)=1, e così per le altre coppie.
Ma è così? Non per forza... per esempio, una terna del tipo 5,7,25: 5 e 25 non sono coprimi, ma il MCD di tutti i numeri è 1 (poiché 5 e 7 non hanno fattori comuni nella scomposizione in fattori primi)...
Dove sto sbagliando...?

[Federico II]

In generale non è vero, però nel caso specifico dell'esercizio è vero. Infatti per dimostrare che $MCD(a, b)=1$ partiamo dal fatto che $a|b+c$, quindi se esistesse un primo che divide sia $a$ che $b$ dovrebbe dividere anche $c$, assurdo perché $MCD(a, b, c)=1$. Ora nulla ci vieta di fare lo stesso ragionamento con le coppie $(b, c)$ e $(a, c)$. I numeri sono a due a due coprimi perché si sfrutta il fatto che ognuno divide la somma degli altri due, non perché è una regola sempre valida.

[Toadino2]

Ah, capito! Grazie

[enigma]

No, non c'è nessun procedimento algoritmico. Ad esempio, basta chiedersi tutte le coppie di interi per cui il fattoriale del primo aumentato di 1 è uguale al quadrato del secondo; o tutte le terne di interi per cui la somma dei primi due è uguale al terzo e il prodotto dei fattori primi distinti del prodotto dei tre interi, elevato a un esponente maggiore di 1, è minore del terzo intero. L'unica è fare tanti problemi del genere per acquisire un po' di intuito su quale è la risposta più probabile (spesso ad un certo livello si sa la risposta di un problema ancor prima di risolverlo).

[Toadino2]

E daje... dovrò fare esercizi ad oltranza... ovviamente con una sfogliatina alle Dispense