Gruppi & co.

[Drago]

Dato che l'avevo promesso, provo a scrivere qualcosa, sperando nell'aiuto dei più anziani...
Andiamo subito al sodo e definiamo cos'è un gruppo:
Definizione 1 Dato un insieme $G$ non vuoto con un'operazione $*$, diciamo che è un gruppo se valgono i seguenti quattro assiomi:

• chiusura: se $a,b\in G$ allora $a*b\in G$
• associatività: se $a,b,c\in G$ allora $a*(b*c)=(a*b)*c$
• elemento neutro: esiste un elemento $e\in G$ tale che per ogni $a\in G$ vale $a*e=e*a=a$
• inverso: per ogni $a\in G$ esiste $b\in G$ tale che $a*b=b*a=e$ (e denotiamo $b$ come $a^{-1}$)

Definizione 2 Un gruppo $G$ è finito se ha un numero finito di elementi. Il numero di elementi si chiama ordine del gruppo e si indica con $|G|$.
Definizione 3 Un gruppo $G$ si dice abeliano se per ogni $a,b\in G$ vale $a*b=b*a$

Vediamo ora un po' di esempi...

1. $\mathbb Z$ è un gruppo abeliano rispetto all'addizione, l'elemento neutro è 0, e l'inverso di $a$ è semplicemente $-a$
2. $\mathbb Z$ non è un gruppo rispetto alla moltiplicazione; infatti l'elmento neutro dovrebbe essere $1$, ma per tutti gli interi a parte $\pm1$ non c'è un inverso
3. $\mathbb Q-\{0\}$ è un gruppo abeliano rispetto alla moltiplicazione, con $1$ elemento neutro e l'inverso di $a/b$ è $b/a$
4. L'insieme di tutte le permutazioni (ovvero le funzioni bigettive su un insieme finito) è un gruppo non abeliano rispetto alla composizione tra funzioni, l'elemento neutro è l'identità
5. L'insieme delle rotazioni di $2\pi/n$ e multipli è un gruppo finito di ordine $n$ (si pensi alle radici dell'unità)
6. L'insieme delle rotazioni di $2\pi/n$ e multipli e delle $n$ simmetrie è il gruppo diedrale, di ordine $2n$

E ora un po' di lemmi utili per lavorare con i gruppi:
Sia $(G,*)$ un gruppo; allora

1. l'elemento neutro è unico
2. ogni elemento $a\in G$ ha un unico inverso $a^{-1}$
3. per ogni $a\in G$ vale $(a^{-1})^{-1}=a$
4. per ogni $a,b\in G$ vale $(a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1}$
5. dati $a,b,c\in G$ tali che $a*c=b*c$ allora $a=b$
6. dati $a,b,c\in G$ tali che $c*a=c*b$ allora $a=b$

Per comodità possiamo scrivere $\underbrace{a*a*\dots*a}_{n\text{ volte}}=a^n$ e similmente dire che $a^{-n}=(a^{-1})^n$ e quindi $a^0=e$ e vale la proprietà delle potenze $a^m*a^n=a^{m+n}$

E infine alcuni esercizi
1- Dato un gruppo $G$ tale che $a^2=e$ per ogni $a\in G$, dimostrare che è abeliano
2- Dimostrare che ogni gruppo di ordine minore o uguale a $5$ è abeliano (fino a 4 è facile, per il 5 o si usa un risultato più avanti, oppure è complicato)
3- Se $G$ è un gruppo finito di ordine pari, dimostrare che esiste un $a\neq e$ tale che $a^{-1}=a$
4- Sia $G$ un gruppo finito, dimostrare che per ogni $a\in G$ esiste un intero $n>0$ tale che $a^n=e$
5- Sia $G$ un insieme con un'operazione $*$ tale che valgono gli assiomi di chiusura e associatività, che esiste un $e\in G$ tale che per ogni $x\in G$ vale $e*x=x$, che per ogni $x\in G$ esiste un $y\in G$ per cui $y*x=e$. Dimostrare che $G$ è un gruppo, ovvero che anche $x*e=x$ e $x*y=e$
6- Sia $G$ un gruppo per cui esistono tre interi consecutivi $n-1,n,n+1$ tali che per ogni $a,b\in G$ vale $(a*b)^i=a^i*b^i$; dimostrare che $G$ è abeliano

Ora non so se aprire un topic a parte per gli esercizi e/o i lemmi, o mettere tutto qua... boh lasciamo anche tutto qua, così man mano che faccio problemi dall'Herstein li posto

[Gizeta]

Ho letto di sfuggita qua e là

[...] per ogni [tex]a,b \in G[/tex] vale [tex](a*b)^{−1}=a^{−1}*b^{−1}[/tex]

Piccolo typo: [tex](a *b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1}[/tex]

L'assioma di chiusura non serve, una legge di composizione (o operazione) [tex]*[/tex] definita in [tex]G[/tex] è per definizione un'applicazione [tex]*= \left \{(a,b) \mapsto *(a,b) \stackrel{not}{=} a * b: G \times G \rightarrow G \right \}[/tex], dove con [tex]\stackrel{not}{=}[/tex] intendo che è una notazione.

Devo ammettere, però, che alcuni testi utilizzano il termine operazione anche quando la suddetta funzione è definita in un sottoinsieme proprio del prodotto cartesiano in luogo che su tutto esso (la sottrazione e la divisione in [tex]\mathbb{N}[/tex], ad esempio, sono chiamate impropriamente operazioni) ; inutile dire che ciò costituisce un abuso di linguaggio.

[hyka]

Basta dire che \(*\) deve essere un'operazione binaria interna, dove operazione è sinonimo di funzione; la chiusura in genere è qualcosa da controllare affinché un sottoinsieme sia un sottogruppo. L'Herstein purtroppo è strano come libro.

Testo nascosto:

\(2a = 0\) significa che \(a = - a\). Perciò \(a + b = - a - b = - (b + a) = b + a\) (ho usato la notazione additiva invece di quella moltiplicativa, spero sia chiara).

Testo nascosto:

Per \(1\), \(2\), \(3\), \(5\) è banale, infatti gli unici gruppi con tale ordine a meno di isomorfismi sono quelli ciclici che sono abeliani. I gruppi di ordine \(4\) invece sono \(\mathbb{Z}_4\) e \(\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2\), anch'essi ciclici.

Testo nascosto:

Sitoacaso

Testo nascosto:

Per i cassetti o per qualche altra oscura ragione, esistono \(s < t\) tali che \(a^s = a^t\) da cui \(a^{t - s} = 1\).

Testo nascosto:

Su questo esercizio sono meno sicuro, comunque:
per il precedente esercizio è vero che per ogni \(x\) in \(G\) esiste un \(z\) in \(G\) tale che \(x z = 1\), inoltre per ogni \(t\) in \(G\) si ha \((x \cdot 1) t = x (1 \cdot t) = xt\) ma dato che esiste l'inverso destro di \(t\) si ha \(x \cdot 1 = x\).
Infine, se \(y\) è inverso sinistro di \(x\) e \(z\) è inverso destro si ha \(z = (y x) z = y (x z) = y \cdot 1 = y\).

Testo nascosto:

Diciamo che vale per \(n\), \(n+1\) ed \(n+2\), allora si ha che
\(a (ab)^n b = a^{n+1} b^{n+1} = (ab)^{n+1} = a b (ab)^n\) da cui cancellando la \(a\) si ottiene \((ab)^n b = b (ab)^n\).
Continuando i conticini, \(abab(ab)^n = (ab)^{n+2} = a^{n+2} b^{n+2} = a^2 a^n b^n b^2 = a^2 (ab)^n b^2 = a^2 b (ab)^n b = a^2 b^2 (ab)^n\) da cui cancellando \((ab)^n\) si ottiene \(abab = a^2 b^2\) cioè \(ab = ba\).

Posto altri esercizi?

[enigma]

Anche se, volendo spezzare una lancia in favore dell'Herstein, un gruppo $G$ lo posso sempre pensare come immerso in $\mathcal S(G)$, quindi quel punto di vista non è del tutto campato per aria!

[hyka]

Ha senso

Dato che nessuno si oppone posto qualche altro esercizio.

1 - Siano \(a\), \(b\) due elementi di un gruppo, dimostrare che \(|ab| = |ba|\) dove \(|\cdot|\) indica l'ordine di un elemento.

Hint:

Testo nascosto:

Dimostrare che se \(x\) e \(g\) sono due elementi di un gruppo allora \(|x| = |g^{-1} x g|\).

2 - Sia \(S\) un semigruppo finito (non vuoto) in cui valgono le leggi di cancellazione (per \(x, y, z \in S\), \(xz = yz\) implica \(x = y\) e \(zx = zy\) implica \(x = y\)). Dimostrare che \(S\) è un gruppo. Dare un esempio di un semigruppo infinito in cui valgono le leggi di cancellazione ma che non è un gruppo.

3 - Dimostrare che un gruppo non può essere l'unione di due suoi sottogruppi propri.

4 - Dimostrare che \(\mathbb{R}\) equipaggiato dell'operazione \((x, y) \mapsto \sqrt[3]{x^3 + y^3}\) è un gruppo (isomorfo al gruppo additivo dei reali).

5 - Dimostrare che un gruppo infinito ha infiniti sottogruppi.

Teoremino
Sia \(R (\sim)\) una relazione di equivalenza su un gruppo \(G\) tale che \(a_1 \sim a_2\) e \(b_1 \sim b_2\) implica \(a_1 b_1 \sim a_2 b_2\), allora l'insieme delle classi di equivalenza \(G / R\) è un gruppo rispetto l'operazione binaria \(\overline{a} \cdot \overline{b} = \overline{ab}\), dove \(\overline{x}\) indica la classe di \(x\).

6 - Sia \(\sim\) la relazione su \(\mathbb{Q}\) definita come \(a \sim b \leftrightarrow a - b \in \mathbb{Z}\). Essa è una relazione di equivalenza e per il teorema precedente il quoziente forma un gruppo, detto gruppo dei razionali modulo uno (indicato con \(\mathbb{Q} / \mathbb{Z}\)).

Sia \(p\) un numero primo e sia \(\mathbb{Z}(p^\infty)\) l'insieme
\[\mathbb{Z}(p^\infty) = \{\overline{a / b} \in \mathbb{Q} / \mathbb{Z}\, .\, a, b \in \mathbb{Z} \wedge b = p^i, i \geq 0\}\]

Dimostrare che \(\mathbb{Z}(p^\infty)\) è un gruppo infinito rispetto alla somma in \(\mathbb{Q} / \mathbb{Z}\). Dimostrare che è generato dall'insieme \(\{\overline{1/p^n}\, .\, n \in \mathbb{N}^*\}\).