Diofantee ?

[helios]

Ciao a tutti, visto che la gara di febbraio si avvicina, vorrei porre un paio di domande sulle diofantee.
Ammetto che spesso mi trovo in difficoltà nel risolverle, più che altro perché non so mai da che parte iniziare.

1) Avete qualche suggerimento? Qualche strada da seguire o qualche teorema/strategia che permetta di capire dove andare a parare?

2) Trovo spesso in giro l'idea di diofantee da risolvere con l'aritmetica modulare ma, per quello che ho cercato in giro e ho fatto, non mi é mai capitato. A parte una volta forse, ma senza grandi risultati.
Sapreste farmi qualche esempio e, anche qui, darmi qualche suggerimento ?

Lo so che é una domanda molto generale, ma sono già passato dalle Dispense Olimpioniche e non dá troppo peso all'aritmetica modulare..

Grazie

[afullo]

Quelle lineari le risolvi con l'algoritmo di Euclide e il Teorema di Bezout. Per quelle generali, considera che delle volte l'aritmetica modulare risolve soltanto una parte del problema, per esempio escludendo dei casi. Altre tecniche molto utilizzate sono le varie scomposizioni e il ragionamento per sostituzione.

Un esempio è dato da un problema di un Cesenatico di diversi anni fa, che chiedeva di risolvere:

[tex]x^2 + 615 = 2^y[/tex]

Con le congruenze modulo 3 dimostravi solo che [tex]y[/tex] doveva essere necessariamente pari, e che quindi l'equazione si potesse trasformare in [tex]2^{2z} - x^2 = 615[/tex], poi dovevi procedere scomponendo la differenza di quadrati e distribuendo i fattori...