Sintetica, baricentrica, analitica... troppo complesso!

[Toadino2]

È da un po' di tempo che guardo i problemi delle staffette di geometria, e vedo sempre comparire frasi del tipo: "questo viene velocemente in sintetica", "non avrai la soddisfazione di vedermelo risolvere in baricentriche", "lo risolvi con poche righe di analitica", "cadrà a colpi di complessi"... qualcuno mi spiega cosa significano tutte queste cose (sintetica, baricentriche, analitica, complessi e vari?) visto che io so a malapena cosa sono l'analitica e l'euclidea e non sono mai riuscito a capire cosa fossero le altre?

[Drago]

Alur,
sintetica = euclidea (dire "i triangoli sono congruenti", "faccio un'omotetia o un'inversione", usare tutti i vari teoremi che si vedono a scuola e al senior)
analitica = assegnare ad ogni punto una coppia di reali $(x,y)$, e quindi le rette sono cose del tipo $y=mx+q$, le circonferenze $x^2+y?2=1$ ecc...
complessi = ogni punto è rappresentato da un numero complesso del piano di Gauss, quindi le rette sono tipo $az+b\overline z+c=0$ e le circonferenze $z\overline z=1$; funzionano molto bene con angoli, meno bene per lunghezze; ottimi per rotomotetie!
vettori = fisso un'origine $O$ e ad ogni punto $P$ associo il vettore $OP$ con verso uscente; vengono bene le perpendicolarità con il prodotto scalare e anche i parallelismi in realtà; le rette (e soprattutto le intersezioni di rette) sono bruttine, le circonferenze non parliamone...
baricentriche = vado a vivere in $\mathbb R^3$, mi fisso un piano; ora ogni retta per l'origine mi individua un punto, ogni piano una retta; per questo ho terne di coordinate omogenee. Scelgo il piano in modo che i vertici del mio triangolo siano gli assi dello spazio, e ogni punto è individuato da una terna che è $\left(\frac{[PBC]}{[ABC]},\frac{[PCA]}{[ABC]},\frac{[PAB]}{[ABC]}\right)$; qual è la cosa figa? che sia punti che rette sono individuati da una terna omogenea e quindi sono "duali": per avere l'allineamento o la concorrenza basta calcolare il determinante di una matrice $3\times3$; le circonferenze vanno bene finché passano per almeno un vertice, le perpendicolarità non sono immediate, si può passare in vettori rapidamente; gli angoli fanno schifo...

In ogni caso, ci va un po' di tempo per imparare, ti consiglio i video del senior!
Ma all'inizio è meglio imparare bene la sintetica, è utile poi dopo!

[Lasker]

Vista la mia scarsezza in Geometria sono poco indicato a dare consigli, ma ecco un breve elenco delle tecniche che hai menzionato...

Riassumendo:
Sintetica=Euclide
Analitica=Scuola
Complessi=Drago
Baricentriche=Lucaboss

A parte la sintetica (e in particolare "angle chasing"), che è da veri pr0 (e risolve certamente TUTTI i problemi di geometria delle gare italiane), puoi fare altre cose per uccidere i problemi a colpi di contazzi senza dover per forza sapere che i due fuochi di un'ellisse inscritta in un triangolo sono coniugati isogonali e e fatterelli sulle perspettività, ma travolgendo ogni esercizio con un mare di calcoli "stupidi" e con poche vere idee di default.

-Analitica: non esistono problemi che vengano particolarmente bene in coordinate cartesiane, ma se vuoi vedere un esempio su oliforum ho risolto questo (prima che Kfp mi umiliasse con una dimostrazione sintetica mille volte più elegante). Visto che a noi olimpionici piace distinguerci, spesso vedrai l'analitica evolversi in un più fisico "vettori" (ma alla fine è più o meno lo stesso... robe che io non imparerò mai a fare). I vantaggi di questi sistemi sono facili condizioni per i rapporti tra segmenti, parallelismo e perpendicolarità; i vettori in particolare sono comodi per i problemi tipo "trova la distanza tra incentro e circocentro in un triangolo" e simili.

-Trigonometria/conti di segmenti: in pratica cominci a usare il teorema dei seni e le identità trigonometriche a raffica per calcolare TUTTO e arrivare spesso alla tesi (es. se devi dimostrare che un dato triangolo è isoscele, ti calcoli i due lati uguali e verifichi la loro uguaglianza ). Anche problemi IMO recenti possono venire con questo schifo di tecnica scolastica, ma personalmente non ci ho mai ricavato nulla di buono.

-Complessi: simili ai vettori, i complessi si prestano particolarmente bene quando hai degli angoli (le rotazioni nel piano complesso vengono veramente bene), dei punti medi, dei cerchi o robe così, ma non li ho mai approfonditi abbastanza da dire qualcosa su come si usino effettivamente.

-Baricentriche: sono una evoluzione cannonosa dei vettori, uccidono praticamente ogni problema che inizia con "sia $\triangle ABC$ un triangolo" (se ti chiami luca, anche i quadrilateri sono ok), sono imparentate con le matrici e i determinanti. Si scrivono BENISSIMO le rette e le loro intersezioni, i coniugati (isotomici ed isogonali), i punti notevoli del triangolo e punti a rapporto definito su un segmento (cerchi e angoli fanno un po' schifo, invece) e sono uno strumento overkill per quasi qualsiasi problema se sei abbastanza veloce con i conti (=non si parla di me)

Comunque ti consiglierei di continuare con l'euclidea, visto che è la strada più immediata per risolvere i problemi (almeno fino a cesenatico)

[Toadino2]

Ok, allora per il momento mi limito alla sintetica... volevo anche un po' capire cosa diceste voi geniacci quando discutete elucubrando tra voi con simili termini, perché i comuni mortali come me non possano capirvi

[polarized]

volevo anche un po' capire cosa diceste voi geniacci quando discutete elucubrando tra voi con simili termini, perché i comuni mortali come me non possano capirvi

Eh sarebbe bello
Comunque se non lo avessi fatto tu avrei aperto io una discussione simile entro poco tempo, quindi grazie

[mr96]

Ok, allora per il momento mi limito alla sintetica... volevo anche un po' capire cosa diceste voi geniacci quando discutete elucubrando tra voi con simili termini, perché i comuni mortali come me non possano capirvi

Mi approprio di una citazione di un celebre utente del forum, modificandola a mio piacimento: "Geometria non si studia, si improvvisa". Nel senso, io non ci ho mai capito una mazza di Geometria, ed è per questo forse che non sono a Cesenatico (ho fatto 58 punti non toccando né il dimostrativo geometrico né le crocette geometriche...), non sono in grado di vedere le cose, quindi ho smesso di provarci sperando ogni anno che non esista

[RyzePHi]

Beh vedo molta gente che odia geometria : mi associo a ruota. Btw proprio per questo se come per me la sintetica è un'arte oscura appena il problema supera il livello di quello proposto da un macaco ubriaco vi consiglio di provare ad abboffarvi di lezioni del Senior che sono tipo la porta del Paradiso delle Olimat ed ad imparare dopo un po' qualcosa di brutto e contoso per trasformare geometria in qualcosa altro e riuscire a risolvere i problemi.

[Toadino2]

Spero di non dover fare lo stesso XD
Comunque prego, Polarized

[lucaboss98]

Io ho sempre odiato la geometria, finchè non ho imparato le baricentriche da quel momento spero sempre che esca (a patto che venga bene..)

[cip999]

Io ho sempre odiato la geometria, finchè non ho imparato le baricentriche

Ce ne siamo accorti...