Delucidazioni su un teorema

[Toadino2]

Non so se questo sia la sezione adatta, nel caso avvertitemi

Per la Gara di Febbraio mi è stato spiegato il teorema del resto, e nelgi ultimi tempi ho voluto vederne la dimostrazione, ma non mi è molto chiara, qualcuno vuole illuminarmi?

"Ogni polinomio, per la definizione di divisione euclidea, è scrivibile come
$P(x)=Q(x) \times D(x) + R(x)$
Dove Q è il quoziente, D il divisore ed R il resto. R ha sempre grado maggiore di D;
In particolare, ponendo D(x) scrivibile nella forma di un binomio $(x-a)$ abbiamo che R è un termine noto.
$P(x)=Q(x)(x-a)+r$.
Ora ponendo $x=a$ otteniamo $P(a)=Q(x)(a-a)+r=r$. $c.v.d.$"
Ma non capisco l'ultima parte... Dato che abbiamo posto $x=a$, il tereoma non dovrebbe valere se questo avviene?

[Gerald Lambeau]

Ma infatti per [tex]x=a[/tex] si ha [tex]P(a)=Q(a) \cdot (a-a) +r=0+r=r \Rightarrow P(a)=r[/tex], che in effetti è il teorema del resto:
il resto della divisione di un polinomio [tex]P(x)[/tex] per [tex](x-a)[/tex] è uguale a [tex]P(a)[/tex].
In particolare, se [tex]P(a)=0[/tex] allora [tex](x-a)[/tex] divide [tex]P(x)[/tex] e [tex]a[/tex] è detta radice di [tex]P(x)[/tex].

[Toadino2]

Ma quello lo avevo capito, è che non capisco come mai il teorema sia valido
Se appunto è per "x=a", non dovrebbe valere solo in quel caso e non necessariamente in tutti gli altri?

[Gerald Lambeau]

Non so come spiegartelo, ma ci provo: supponiamo che [tex]P(x)[/tex] (polinomio di grado [tex]n[/tex]) sia una funzione dai reali nei reali (per semplicità, non sono sicuro ma credo possa essere estesa anche ai complessi).
Allora per ogni [tex]x \in \mathbb{R}[/tex] esiste un [tex]P(x)[/tex] corrispondente (anche diverso da zero); così il polinomio esiste per ogni [tex]x \in \mathbb{R}[/tex].
Per ogni polinomio (che è sempre una funzione dai reali nei reali) [tex]D(x)[/tex] di grado [tex]k \le n[/tex] esiste un polinomio [tex]Q(x)[/tex] (sempre lo stesso tipo di funzione) di grado [tex]n-k[/tex] tale che [tex]P(x)=Q(x) \cdot D(x)+r[/tex] dove il [tex]r[/tex] è di forma polinomiale e grado minore a [tex]k[/tex].
Supponiamo ora [tex]k=1[/tex], abbiamo che [tex]r[/tex] ha grado zero, cioè è un reale.
Sappiamo che [tex]D(x)=(x-a)[/tex] per qualche [tex]a \in \mathbb{R}[/tex] e che questo deve valere per ogni [tex]x[/tex] possibile, perciò vale anche per [tex]x=a[/tex], poi si ripete quanto detto prima. In sostanza, il resto è quello, indipendentemente da [tex]x[/tex]:
se hai presente com'è la divisione in colonna fra polinomi ti ricorderai che, se il divisore è di grado [tex]1[/tex], il resto è sempre un reale senza l'incognita, perciò per [tex]a[/tex] determinato il resto resta quello, sia che tu ci metta [tex]x[/tex], [tex]y[/tex] o chessoio.
Spero di averti fatto capire, ma ne dubito
E dopo quello che ho scritto sono certo che si possa (e debba) estendere ai complessi.

[Drago]

Il punto è proprio: dividendo per $x-a $, il resto è una costante, quindi in questo caso $R (x)=r\forall x $, e in particolare $r=R (a)=p (a) $

[Toadino2]

Ora mi sembra più chiaro grazie!c