Non so se questo sia la sezione adatta, nel caso avvertitemi
Per la Gara di Febbraio mi è stato spiegato il teorema del resto, e nelgi ultimi tempi ho voluto vederne la dimostrazione, ma non mi è molto chiara, qualcuno vuole illuminarmi?
"Ogni polinomio, per la definizione di divisione euclidea, è scrivibile come
$P(x)=Q(x) \times D(x) + R(x)$
Dove Q è il quoziente, D il divisore ed R il resto. R ha sempre grado maggiore di D;
In particolare, ponendo D(x) scrivibile nella forma di un binomio $(x-a)$ abbiamo che R è un termine noto.
$P(x)=Q(x)(x-a)+r$.
Ora ponendo $x=a$ otteniamo $P(a)=Q(x)(a-a)+r=r$. $c.v.d.$"
Ma non capisco l'ultima parte... Dato che abbiamo posto $x=a$, il tereoma non dovrebbe valere se questo avviene?
Delucidazioni su un teorema
Delucidazioni su un teorema
C'è chi ha definito ogni persona come una guerriera della vita... ed allora ogni matematico combatte una guerra eterna contro i numeri per conquistarli: e più saremo in tanti a combattere tali battaglie, prima la vinceremo. Cit.Me
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Re: Delucidazioni su un teorema
Ma infatti per [tex]x=a[/tex] si ha [tex]P(a)=Q(a) \cdot (a-a) +r=0+r=r \Rightarrow P(a)=r[/tex], che in effetti è il teorema del resto:
il resto della divisione di un polinomio [tex]P(x)[/tex] per [tex](x-a)[/tex] è uguale a [tex]P(a)[/tex].
In particolare, se [tex]P(a)=0[/tex] allora [tex](x-a)[/tex] divide [tex]P(x)[/tex] e [tex]a[/tex] è detta radice di [tex]P(x)[/tex].
il resto della divisione di un polinomio [tex]P(x)[/tex] per [tex](x-a)[/tex] è uguale a [tex]P(a)[/tex].
In particolare, se [tex]P(a)=0[/tex] allora [tex](x-a)[/tex] divide [tex]P(x)[/tex] e [tex]a[/tex] è detta radice di [tex]P(x)[/tex].
"I matematici non realizzano nulla... semplicemente scoprono e dimostrano verità intrinseche riguardanti tutto ciò che esiste, ovvietà e banalità per una mente superiore, perfetta. Ed è quello il mio obiettivo!"
Cit. Marco (mio vero nome)
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Re: Delucidazioni su un teorema
Ma quello lo avevo capito, è che non capisco come mai il teorema sia valido
Se appunto è per "x=a", non dovrebbe valere solo in quel caso e non necessariamente in tutti gli altri?
Se appunto è per "x=a", non dovrebbe valere solo in quel caso e non necessariamente in tutti gli altri?
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Re: Delucidazioni su un teorema
Non so come spiegartelo, ma ci provo: supponiamo che [tex]P(x)[/tex] (polinomio di grado [tex]n[/tex]) sia una funzione dai reali nei reali (per semplicità, non sono sicuro ma credo possa essere estesa anche ai complessi).
Allora per ogni [tex]x \in \mathbb{R}[/tex] esiste un [tex]P(x)[/tex] corrispondente (anche diverso da zero); così il polinomio esiste per ogni [tex]x \in \mathbb{R}[/tex].
Per ogni polinomio (che è sempre una funzione dai reali nei reali) [tex]D(x)[/tex] di grado [tex]k \le n[/tex] esiste un polinomio [tex]Q(x)[/tex] (sempre lo stesso tipo di funzione) di grado [tex]n-k[/tex] tale che [tex]P(x)=Q(x) \cdot D(x)+r[/tex] dove il [tex]r[/tex] è di forma polinomiale e grado minore a [tex]k[/tex].
Supponiamo ora [tex]k=1[/tex], abbiamo che [tex]r[/tex] ha grado zero, cioè è un reale.
Sappiamo che [tex]D(x)=(x-a)[/tex] per qualche [tex]a \in \mathbb{R}[/tex] e che questo deve valere per ogni [tex]x[/tex] possibile, perciò vale anche per [tex]x=a[/tex], poi si ripete quanto detto prima. In sostanza, il resto è quello, indipendentemente da [tex]x[/tex]:
se hai presente com'è la divisione in colonna fra polinomi ti ricorderai che, se il divisore è di grado [tex]1[/tex], il resto è sempre un reale senza l'incognita, perciò per [tex]a[/tex] determinato il resto resta quello, sia che tu ci metta [tex]x[/tex], [tex]y[/tex] o chessoio.
Spero di averti fatto capire, ma ne dubito
E dopo quello che ho scritto sono certo che si possa (e debba) estendere ai complessi.
Allora per ogni [tex]x \in \mathbb{R}[/tex] esiste un [tex]P(x)[/tex] corrispondente (anche diverso da zero); così il polinomio esiste per ogni [tex]x \in \mathbb{R}[/tex].
Per ogni polinomio (che è sempre una funzione dai reali nei reali) [tex]D(x)[/tex] di grado [tex]k \le n[/tex] esiste un polinomio [tex]Q(x)[/tex] (sempre lo stesso tipo di funzione) di grado [tex]n-k[/tex] tale che [tex]P(x)=Q(x) \cdot D(x)+r[/tex] dove il [tex]r[/tex] è di forma polinomiale e grado minore a [tex]k[/tex].
Supponiamo ora [tex]k=1[/tex], abbiamo che [tex]r[/tex] ha grado zero, cioè è un reale.
Sappiamo che [tex]D(x)=(x-a)[/tex] per qualche [tex]a \in \mathbb{R}[/tex] e che questo deve valere per ogni [tex]x[/tex] possibile, perciò vale anche per [tex]x=a[/tex], poi si ripete quanto detto prima. In sostanza, il resto è quello, indipendentemente da [tex]x[/tex]:
se hai presente com'è la divisione in colonna fra polinomi ti ricorderai che, se il divisore è di grado [tex]1[/tex], il resto è sempre un reale senza l'incognita, perciò per [tex]a[/tex] determinato il resto resta quello, sia che tu ci metta [tex]x[/tex], [tex]y[/tex] o chessoio.
Spero di averti fatto capire, ma ne dubito
E dopo quello che ho scritto sono certo che si possa (e debba) estendere ai complessi.
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Cit. Marco (mio vero nome)
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Re: Delucidazioni su un teorema
Il punto è proprio: dividendo per $x-a $, il resto è una costante, quindi in questo caso $R (x)=r\forall x $, e in particolare $r=R (a)=p (a) $
Re: Delucidazioni su un teorema
Ora mi sembra più chiaro grazie!c
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