Relazioni tra i coefficenti e le radici di un polinomio
Relazioni tra i coefficenti e le radici di un polinomio
Scusate l' ignoranza ma sono nuovo del forum e se c'è una cosa che non ho ancora capito bene è la relazione tra coefficenti e radici in un polinomio. Qualcuno può spiegarmela ?
Re: Relazioni tra i coefficenti e le radici di un polinomio
Allora, vado io perché era una delle cose su cui mi ero soffermato di più. Sperando di non dire scemenze:
Tu sai che ogni polinomio può essere scomposto in una forma del tipo $a(x-\alpha_1)(x-\alpha_2) ecc.$, e il numero degli alfa è uguale al grado del polinomio. Gli alfa sono le radici del polinomio (cioè se le sostituisci alla X ottieni 0), che trovi con una banale prova o scomposizione.
Ora, in molti problemi quei furboni ti danno polinomi che non si possono scomporre; insomma, le radici sono dei numeri complessi (se vuoi sapere cosa sono, fatti una breve ricerca); quelle formule per le radici (si chiamano formule di Viète) ti permettono di calcolare per esempio somma e prodotto di tutte le radici, anche se sono numeri complessi (che, se non conosci, diventano piuttosto fastidiosi da trovare e calcolare).
Le più importanti sono quella della somma e quella del prodotto: il prodotto è sempre uguale al termine noto (cioè l'ultimo), mentre la somma è il termine di grado n-1 (in parole povere, il secondo che scrivi).
Nota importante: le formule funzionano solo se il polinomio è monico (cioè il termine col grado maggiore ha un coefficiente uguale ad 1, cioè non lo scrivi perché sarebbe inutile); se ne ha un altro, prima devi renderlo tale dividendo tutto il polinomio per quel coefficiente.
Spero d'esser stato chiaro
Tu sai che ogni polinomio può essere scomposto in una forma del tipo $a(x-\alpha_1)(x-\alpha_2) ecc.$, e il numero degli alfa è uguale al grado del polinomio. Gli alfa sono le radici del polinomio (cioè se le sostituisci alla X ottieni 0), che trovi con una banale prova o scomposizione.
Ora, in molti problemi quei furboni ti danno polinomi che non si possono scomporre; insomma, le radici sono dei numeri complessi (se vuoi sapere cosa sono, fatti una breve ricerca); quelle formule per le radici (si chiamano formule di Viète) ti permettono di calcolare per esempio somma e prodotto di tutte le radici, anche se sono numeri complessi (che, se non conosci, diventano piuttosto fastidiosi da trovare e calcolare).
Le più importanti sono quella della somma e quella del prodotto: il prodotto è sempre uguale al termine noto (cioè l'ultimo), mentre la somma è il termine di grado n-1 (in parole povere, il secondo che scrivi).
Nota importante: le formule funzionano solo se il polinomio è monico (cioè il termine col grado maggiore ha un coefficiente uguale ad 1, cioè non lo scrivi perché sarebbe inutile); se ne ha un altro, prima devi renderlo tale dividendo tutto il polinomio per quel coefficiente.
Spero d'esser stato chiaro
C'è chi ha definito ogni persona come una guerriera della vita... ed allora ogni matematico combatte una guerra eterna contro i numeri per conquistarli: e più saremo in tanti a combattere tali battaglie, prima la vinceremo. Cit.Me
Re: Relazioni tra i coefficenti e le radici di un polinomio
Grazie mille chiarissimo ma se fosse un polinomio di 3 grado la somma sarebbe quella di 3 radici e il prodotto pure giusto ?
E più per curiosità che per altro gli altri termini a cosa corrispondono ?
E più per curiosità che per altro gli altri termini a cosa corrispondono ?
Re: Relazioni tra i coefficenti e le radici di un polinomio
Allora:
a)Sì, delle tre radici; è così per tutti i gradi (lascia stare quella $a$ che ho scritto nella definizione), siano $3$,$4$, $165481131161238$ (:lol:). Poi per i gradi zero... ah be', neanche te lo devi chiedere, per i gradi uno il problema quasi non si pone, perché la radice è una sola ed è facilissimo calcolarla, devi solo considerare l'equazione del tipo $ax+b=0$, o comunque quel binomio che hai, trovi il valore della $x$ ed hai fatto.
b)Per quelli... be', è una questione un po' complessa: quelli sono la somma di tutte le combinazioni di radici d'un certo numero di elementi.
Per chiarirti le idee:
Il secondo termine era la somma, cioè la somma di tutte le combinazioni di radici possibili con $1$ elemento.
Il terzo è la somma di tutte le combinazioni possibili di radici con $2$ elementi. Per dirti: se le radici sono $\alpha,\beta,\delta$ quel termine è $\alpha \beta+\alpha \delta + \beta \delta$.
E così via con le combinazioni di tre, quattro, cinque, finché non arrivi al termine noto, che appunto è il prodotto della combinazione di tutte le radici, per definizione una sola (se hai un gruppo di $n$ cose, puoi fare un solo sottogruppo con $n$ cose).
a)Sì, delle tre radici; è così per tutti i gradi (lascia stare quella $a$ che ho scritto nella definizione), siano $3$,$4$, $165481131161238$ (:lol:). Poi per i gradi zero... ah be', neanche te lo devi chiedere, per i gradi uno il problema quasi non si pone, perché la radice è una sola ed è facilissimo calcolarla, devi solo considerare l'equazione del tipo $ax+b=0$, o comunque quel binomio che hai, trovi il valore della $x$ ed hai fatto.
b)Per quelli... be', è una questione un po' complessa: quelli sono la somma di tutte le combinazioni di radici d'un certo numero di elementi.
Per chiarirti le idee:
Il secondo termine era la somma, cioè la somma di tutte le combinazioni di radici possibili con $1$ elemento.
Il terzo è la somma di tutte le combinazioni possibili di radici con $2$ elementi. Per dirti: se le radici sono $\alpha,\beta,\delta$ quel termine è $\alpha \beta+\alpha \delta + \beta \delta$.
E così via con le combinazioni di tre, quattro, cinque, finché non arrivi al termine noto, che appunto è il prodotto della combinazione di tutte le radici, per definizione una sola (se hai un gruppo di $n$ cose, puoi fare un solo sottogruppo con $n$ cose).
C'è chi ha definito ogni persona come una guerriera della vita... ed allora ogni matematico combatte una guerra eterna contro i numeri per conquistarli: e più saremo in tanti a combattere tali battaglie, prima la vinceremo. Cit.Me
Re: Relazioni tra i coefficenti e le radici di un polinomio
Scrivo da cellulare, quindi sarò breve, se non capisci te lo riscrivo più tardiLuke99 ha scritto:Grazie mille chiarissimo ma se fosse un polinomio di 3 grado la somma sarebbe quella di 3 radici e il prodotto pure giusto ?
E più per curiosità che per altro gli altri termini a cosa corrispondono ?
In pratica, se tu hai un polinomio di grado [tex]n[/tex] e indichi con [tex]a_i[/tex] il coefficiente del termine di grado [tex]i[/tex], vale che [tex](-1)^i\frac{a_{n-i}}{a_n}[/tex] è la somma di tutti i possibili prodotti di [tex]i[/tex] elementi tra le radici. Ad esempio, se [tex]n=3[/tex], [tex]a_3=1[/tex] e [tex]a,b,c[/tex] le radici, vale
[tex]a_0=-abc[/tex]
[tex]a_1=ab+bc+ca[/tex]
[tex]a_2=-(a+b+c)[/tex]
Piccola precisazione: non è vero che se non trovi le radici sono sempre complesse, e non è nemmeno vero che sia più difficile trovarne una complessa che una reale. In generale, comunque, un polinomio ha un numero pari di radici complesse, quindi ogni polinomio di grado dispari ha almeno una radice reale, anche se, in questi casi, è molto difficile trovarla
Re: Relazioni tra i coefficenti e le radici di un polinomio
Grazie mille a entrambi mi avete chiarito le idee
Re: Relazioni tra i coefficenti e le radici di un polinomio
Prego 
grazie anche da me a Mr96
grazie anche da me a Mr96 C'è chi ha definito ogni persona come una guerriera della vita... ed allora ogni matematico combatte una guerra eterna contro i numeri per conquistarli: e più saremo in tanti a combattere tali battaglie, prima la vinceremo. Cit.Me