Seguendo i diversi video degli stage Senior, almeno per quanto riguarda il livello Basic, soprattutto in TdN ho visto che in tutte le annate si è posta una particolare attenzione alla dimostrazione dei vari teoremi, come può essere per il FLT, del quale tra l'altro se ne danno spesso più di una, o per il teorema cinese del resto o per qualsiasi altra cosa (tutte le proprietà della [tex]\Phi[/tex] di eulero ecc...), che non sempre ho trovato così banali o facili
Quello che mi domandavo è: quanto è importante sapere la dimostrazione di questi teoremi? Nel senso, un conto è capirla, un conto è ricordarsela e saperla dimostrare, quanto importante è soffermarsi sulle dimostrazioni?
Aspetto qualche buon consiglio
"In geometria tutto con Pitagora, in algebra tutto con Tartaglia"
In genere i lemmi o teoremi famosi si dividono in due categorie (almeno per quanto riguarda le olimpiadi):
-quelli troppo potenti e categoricamente vietati;
-quelli più conosciuti, comuni e che si è abituati a usare (di solito senza bisogno di dimostrarli).
Poi c'è anche il fatto che in un esercizio a crocette o numerico si possono usare anche le peggio cose che tanto non le vedrà nessuno, ma in una dimostrazione conta.
Per quanto riguarda fattarelli underground o cose magari non molto generiche, ma specifiche di quel problema e/o che conosci già e vedi che ti possono tornare utili, allora è buona norma dimostrarle.
Poi non so, questo è quello che so io, casomai chiedi a qualcuno con più esperienza di me, anche se in generale le cose riguardo teoremi (conosciuti e non) sono queste.
"I matematici non realizzano nulla... semplicemente scoprono e dimostrano verità intrinseche riguardanti tutto ciò che esiste, ovvietà e banalità per una mente superiore, perfetta. Ed è quello il mio obiettivo!"
Cit. Marco (mio vero nome)
Gerald Lambeau ha scritto:In genere i lemmi o teoremi famosi si dividono in due categorie (almeno per quanto riguarda le olimpiadi):
-quelli troppo potenti e categoricamente vietati;
-quelli più conosciuti, comuni e che si è abituati a usare (di solito senza bisogno di dimostrarli).
Poi c'è anche il fatto che in un esercizio a crocette o numerico si possono usare anche le peggio cose che tanto non le vedrà nessuno, ma in una dimostrazione conta.
Per quanto riguarda fattarelli underground o cose magari non molto generiche, ma specifiche di quel problema e/o che conosci già e vedi che ti possono tornare utili, allora è buona norma dimostrarle.
Poi non so, questo è quello che so io, casomai chiedi a qualcuno con più esperienza di me, anche se in generale le cose riguardo teoremi (conosciuti e non) sono queste.
Su questo sono d'accordo, più o meno ho intuito come funzionano le cose ( almeno questo)
Però il senso della domanda è (anche) un altro: diamo per scontato (sbagliando forse) che possiamo usare FLT senza dimostrarlo perchè piuttosto basilare e comune, è davvero importante ricordarne una dimostrazione? Son convinto che comprenderla possa essere istruttivo (la solita dimostrazione in combinatoria con la collana è davvero bella e istruttiva ad esempio) ma cosa possiamo dire sul saperne almeno una?
"In geometria tutto con Pitagora, in algebra tutto con Tartaglia"
Uno può imparare solo gli enunciati e usare quelli, e vivere benissimo così-nessuno glielo vieta.
Ma supponiamo che io mi trovi alle IMO. Nel risolvere un problema di TDN, mi trovo ad aver bisogno di dimostrare che (ad esempio) $ \sum_{d|n}\mu(d) a^{n/d} \equiv 0 \pmod n$. Ha qualche vaga somiglianza col teorema di Eulero-Fermat. Se ho studiato l'enunciato e basta, qui mi fermo, e pazienza per i 7 punti del problema. Se ho ben chiara in mente la dimostrazione con il conteggio delle collane, mi è subito chiaro che anche qua basta contare il giusto tipo di collane (esercizio!), e accorgersi che FLT è un caso particolare può aiutare a capire il tipo di collane che mi servirà. Se so la dimostrazione, con appena un po' più di fatica porto a casa i 7 punti del problema. Altrimenti, ciccia.
Questo è un esempio a caso che ho fatto perché hai tirato in ballo il piccolo teorema di Fermat, ma ne saltano fuori continuamente, ad ogni gara e stage.
A parte che aver visto e capito una dimostrazione è importante visto che lo è filosoficamente sapere perché un fatto è vero (e anzi è una parte molto importante della matematica), non conoscere le dimostrazioni di quel che usi ti limita all'usarlo ciecamente e "monoliticamente", saperle ti permette di rimaneggiare i fatti, adattarli, generalizzarli, modellarli sull'uso che ne fai. E infatti quando studi matematica la maggior parte del tempo la passi a imparare non enunciati ma dimostrazioni e idee, per potere un giorno farle tue e usarle modificandole come ti farà più comodo. Nelle gare, inoltre, se dimostri un fatto che usi, per quanto assurdo e delirante, nessuno potrà dirti niente.
E niente, era solo per dire che imparare le dimostrazioni non è affatto tempo sprecato.
almeno questo)