marcomarco ha scritto:Non capisco come faccia ad affermare che per ogni z e y , i 2 membri siano entrambi diversi da 0.
Credo che qui il buon fph si sia perso un "che" (o gli sia scappato un "sono"
). Insomma, intendeva dire che quelle due espressioni sono uguali per ogni $y,z \ne 0$ (e mi sembra logico, dal momento che se sono uguali a $0$ perdono di significato).
marcomarco ha scritto:Tutte le volte che questo fatto accade si ha necessariamente che uno dei 2 membri è uguale ad una costante?
Beh, direi di sì. Per convincertene, poni $$g(t) \leftarrow \frac{f(t) + c}{t}$$ Allora, stai semplicemente dicendo che $g(z) = g(y) \quad \forall \: z, y \ne 0$. Allora, fissa $y$ (ad esempio, chessò, $y = 1$ - ma andava bene qualsiasi valore non nullo), e allora hai che $g(z) = g(1) \quad \forall \: z$. Il che significa che $g$ è costante.
marcomarco ha scritto:Perchè dice che da [tex]\mathbb{R} --> \mathbb{R}[/tex] Quindi il valore 0 lo deve prendere , altrimenti è uguale ad una costante . (Ma in questo caso si dà già per implicito che sia suriettiva però ...)
Per quanto riguarda la sua prima affermazione? Come mai per ogni z e y sono diversi da 0?
Questi dubbi penso dipendano dal fraintendimento espresso con la domanda iniziale, quindi dovrebbero esserti chiari.
marcomarco ha scritto:Quando dice {espressione contenente solo x}={espressione contenente solo y} allora...
Intende dire anche che le 2 espressioni sono "identiche" in funzione di x e y?
Nel senso
[tex]f(x)+x^2+2x = f(y) + y^2 + 2y[/tex] <---- "identiche"
O vale anche per
[tex]f(x)+x^2=f(y)[/tex] <-- perchè dice "espressione contenente solo x" , ma non dice che debbano essere "identiche
Intende dire
esattamente che le due espressioni, valutate
arbitrariamente in $x$ e $y$, sono identiche. Cioè, tu cosa intendi con "identiche"? Che sono scritte allo stesso modo? In tal caso, la risposta è "non necessariamente". Ad esempio, posso dirti che $$f(x) = g(y) \qquad \forall x,y \in \mathbb{R}$$ e allora $f$ e $g$ sono la stessa cosa su $\mathbb{R}$ (pur avendo nomi diversi).
Altro esempio: prendi $f,g: \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ definite come $$\begin{cases}f(x) = x^{p - 1} & \text{se} \; x \ne 0 \\ f(x) = x + 1 &\text{altrimenti}\end{cases} \qquad g(x) = 1$$ Queste due funzioni sono scritte in modo diverso, ma di fatto sono la stessa cosa e coincidono su ogni coppia di valori in $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^2$, quindi sono costanti ($f(x) = g(x) = 1 \quad \forall \: x$).
. Non so esattamente il dubbio in particolare , ma forse mi è utile srotolare piccole incomprensioni ...
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