Formula di eulero per figure piane

[Luke99]

Mi ricordavo fosse possibile applicare la formula di eulero anche per le figure piane ma con qualche convenzione nel contare le facce gli spigoli e i vertici qualcuno mi può rinfrescare la memoria in merito ?

[Rho33]

Se esiste, allora mi accodo. Ma nel caso delle figure piane: la faccia è una sola ed il numero di vertici coincide con il numero di spigoli, quindi a cosa servirebbe esattamente?

[cip999]

La formula di Eulero vale anche per i grafi planari, che sono dei particolari grafi che possono essere rappresentati su un piano senza che vi siano intersezioni tra gli archi. In particolare, dato un grafo planare connesso con $V$ vertici, $E$ archi e $F$ facce (che sono le regioni di piano delimitate da un ciclo, più la regione illimitata costituita dall'"esterno" del grafo), vale la relazione
$$V + F = E + 2$$
che è valida anche se sono presenti cappi o archi multipli.

In effetti, la formula di Eulero per i poliedri (che è esattamente la stessa) è circa un corollario: difatti, dato un poliedro convesso potete immaginare di "schiacciarlo" nel piano così da ottenere un grafo planare con lo stesso numero di facce, vertici e lati (spigoli).

[Luke99]

Grazie mi hai schiarito le idee

[afullo]

Spesso si legge anche la variante V + F = E + 1, che non contempla come faccia l'esterno del grafo. Nei lavori di ricerca su cui sto lavorando, quando facciamo uso di tale relazione, utilizziamo direttamente questa versione.