Lemma della polare

[marcomarco]

Stavo studiando geometria proiettiva e mi sono imbattuto in $2$ differenti definizioni del lemma della polare e non ne vedo l'uguaglianza...
Quale delle $2$ è di solito riconosciuta come lemma della polare?
Definizione 1) Data una retta $r$ e una circonferenza $\omega$, allora $r\cap \omega$ dà i $2$ punti $A$ e $B$. Se $C$ è un punto in mezzo tra $A$ e $B$, e $D$ è sulla retta $AB$ e dalla parte opposta opposta di $A$, allora si ha $(A,B,C,D)=-1 \Leftrightarrow C$ sta sulla polare di $D$ rispetto a $\omega$ e $D$ sta sulla polare di $C$ rispetto ad $\omega$, in questo caso si dice che $C$ e $D$ sono coniugati..
Definizione 2) in allegato.


Quale delle $2$ è la più comune? E Dov'è il collegamento?

p.s. Domanda sulla definizione 1) Vale la seguente proposizione ? ($C$ sta sulla polare di $D$ rispetto a $\omega$ )$\Leftrightarrow D$ (sta sulla polare di $C$ rispetto a $\omega$ ).
Chiaramente vale se $AB$ passa per il centro $O$ di $\omega$, ma se così non fosse, vale comunque??

[cip999]

Dunque, la definizione più comune dovrebbe essere la prima, e se ti serve per il G8 del PreIMO (come penso che sia) ti consiglio di esporla in quella forma.
Dimostrare che le definizioni 1) e 2) sono equivalenti non è difficile, e può essere un buon esercizio per iniziare a prendere la mano con i birapporti e le proiezioni... In pratica, definiti $P$, $A$, $B$, $C$, $D$ e $\omega$ come nell'allegato, posto $X = AC \cap BD$ e detti $U$, $V$ i punti di intersezione della retta $PX$ con $\omega$, ti basta dimostrare che $Q = X \Leftrightarrow (P,Q;U,V) = -1$ (prova a proiettare da punti opportuni sulla circonferenza).

La proposizione di cui parli è un altro fatto molto noto sulle polari, che volendo ha anche un nome (teorema di La Hire). Dimostrarlo è praticamente una similitudine, sfruttando la definizione di polare di $P$ rispetto a $\omega$ come retta perpendicolare al diametro per $P$ e passante per il suo inverso.

[Lasker]

@marcomarco: Anche io confermo che la 1) è più nota (è quella che personalmente mi ricordo), se sei curioso la 2) dovrebbe chiamarsi tipo "Teorema di Brokard" (e le varie dimostrazioni le trovi su internet e probabilmente anche in qualche G2 medium)

[marcomarco]

Dunque, la definizione più comune dovrebbe essere la prima, e se ti serve per il G8 del PreIMO (come penso che sia) ti consiglio di esporla in quella forma.
Dimostrare che le definizioni 1) e 2) sono equivalenti non è difficile, e può essere un buon esercizio per iniziare a prendere la mano con i birapporti e le proiezioni... In pratica, definiti $P$, $A$, $B$, $C$, $D$ e $\omega$ come nell'allegato, posto $X = AB \cap BD$ e detti $U$, $V$ i punti di intersezione della retta $PX$ con $\omega$, ti basta dimostrare che $Q = X \Leftrightarrow (P,Q;U,V) = -1$ (prova a proiettare da punti opportuni sulla circonferenza).

La proposizione di cui parli è un altro fatto molto noto sulle polari, che volendo ha anche un nome (teorema di La Hire). Dimostrarlo è praticamente una similitudine, sfruttando la definizione di polare di $P$ rispetto a $\omega$ come retta perpendicolare al diametro per $P$ e passante per il suo inverso.

Credo che tu abbia confuso qualche lettera $X = AB \cap BD=B?$. Comunque, se intendevi $X = AC \cap BD$, la retta $PX$ non si interseca con $\omega$. Quindi probabilmente intendevi $X$ come qualcos'altro...

La seconda proposizione sono riuscito a risolverla! Dalla definizione di inverso, ottengo delle relazioni che mi permettono di scrivere delle similitudini sui triangoli e dedurre la ciclicità del quadrilatero, che avrà $2$ angoli opposti di $90$ e il risultato segue...

[cip999]

Credo che tu abbia confuso qualche lettera $X = AB \cap BD=B?$. Comunque, se intendevi $X = AC \cap BD$, la retta $PX$ non si interseca con $\omega$. Quindi probabilmente intendevi $X$ come qualcos'altro...

Mhh, quello che intendevo era esattamente $AC \cap BD$ (piccolo typo, ora corretto). Mi sembra strano che $PX$ non intersechi $\omega$, sicuro che abbiamo inteso la stessa cosa? Cioè, io ho due secanti $r$ ed $s$, $r$ interseca la circonferenza in $A$ e $B$ (con $A$ più vicino a $P$ di $B$) ed $s$ la interseca in $C$ e $D$ ($PC < PD$). $X$ è l'intersezione delle diagonali del quadrilatero $ABCD$, quindi $PX$ la incontra eccome $\omega$.

[marcomarco]

edit. sbagliato