Giorni fa ho seguito una videolezione del senior che ne parlava, ma mi sono rimasti dei dubbi, l'affinità conserva:
1-parallelismo (quindi allineamento)
2-rapporti tra aree
3-rapporti tra segmenti paralleli
Ora, posso usare l'affinità ogni volta che la tesi di un dimostrativo è una di queste cose? Tipo per dimostrare che qualcosa è il punto medio di un segmento posso sempre usare le affinità?
Esempio-Problema(IMO1):
Testo nascosto:
Dato un triangolo $ABC$, il punto $J$ è il centro della circonferenza ex-inscritta opposta al vertice $A$. Questa circonferenza è tangente al lato $BC$ in $M$, ed alle rette $AB$ ed $AC$ in $K$ ed $L$ rispettivamente. Le rette $LM$ e $BJ$ si intersecano in $F$, e le rette $KM$ e $CJ$ si intersecano in $G$. Sia $S$ il punto di intersezione delle rette $AF$ e $BC$, e sia $T$ il punto di intersezione delle rette $AG$ e $BC$. Dimostrare che $M$ è il punto medio di $ST$.
In questo problema vengono fatte varie costruzioni per trovare due punti, e poi bisogna dimostrare che un punto è il punto medio del segmento che unisce i due punti trovati, posso usare l'affinità?
Direi di sì: ragionando analiticamente, il punto medio di un segmento è la media delle due coordinate (se siamo sul piano), e la media è una quantità lineare dei suoi argomenti, dunque si comporta bene rispetto ad una trasformazione affine, che è appunto lineare.
Una cosa, nell'oliforum dicono che (nell'esempio/problema IMO che ho postato) quando c'è di mezzo una circonferenza la costruzione salta e l'affinità non conserva (perchè la circonferenza diventa un'ellisse)
Il putno è che non so quasi nulla riguardo le affinità e non so cosa è lecito e cosa non lo è.
E quindi mi rimane il dubbio: nell'esempio che ho postato posso usare un' affinità su $A,B,C$? Oppure il fatto che la costruzione passa per una circonferenza crea problemi (non essendo lineare)?
Con "lineare" intendo che la trasformazione è caratterizzata da equazioni di primo grado, indipendentemente da dove stanno le entità geometriche.
Una circonferenza viene mandata in un'ellisse perché, prendi quella di raggio unitario centrata nell'origine, parametricamente può essere espressa come (cos t, sin t), se applichi una dilatazione di un fattore 2 rispetto all'asse x con centro in 0, ottieni (2 cos t, sin t), che non è più una circonferenza. Però sì può dimostrare che qualunque trasformazione affine porta ad un qualcosa di riconducibile, a meno di traslazioni, rotazioni o ribaltamenti, ad (a cos t, b sin t).
Tuttavia i punti medi restano tali, nel senso che, se prendo il punto medio della corda di una circonferenza, e trasformo, quello mi diventa punto medio della corda dell'ellisse che ne consegue...
