induzione in qualunque insieme numerico

[burt]

ragazzi , se si dimostra per induzioche che per ogni n vale una certa propieta e che se vale per n vale anche per n fratto 10 no si puo dire che vale per qualsiani numero reale o perfino complesso ?NB nel caso di una equazione o disequazione e incredibilmente facile .NB intendo dimostrare sia che se n va bene va bene anche n +1 che se va bene n va bene anche n -1 , che sia ben chiaro.. ragionamento dietro la strana affermazione , bhe semplicemente ogni numero di qualsiasi insieme puo anche essere espresso come un intero fratto una potenza di 10

[lucaboss98]

Assolutamente no.. Almeno se ho capito cosa intendi! Facendo le operazioni da te dette resti sempre e comunque all'interno di un sottoinsieme di $\mathbb{Q}$ , neanche tutto..

[burt]

2,2periodico non è uguale a 2222... Fratto 10000...?

[Gerald Lambeau]

Io lo scrivo come 20/9, fai un po' tu.

[lucaboss98]

Assolutamente no!!!!!!!!!!! Quei cosi che hai scritto tu non sono numeri finiti! Tendono (ovviamente) a $+ \infty$....

[Gerald Lambeau]

Aggiungerei a quello che ha detto Luca che così non becchi gli irrazionali: tralasciando le radici (magari puoi dimostrare che se è vero per $n$ è vero anche per la sua radice), ma i numeri trascendenti come $\pi$?

[xXStephXx]

Se riesci a dimostrare che una certa proprietà $P$ vale per tutto $\mathbb{Z}$ e si conserva dividendo arbitrariamente per $10$, allora puoi dire che $P$ vale per tutti i razionali che hanno scrittura decimale finita. Quindi non hai la certezza nè per i razionali periodici, nè per gli irrazionali.
Tuttavia (ma qua si va a roba non elementare) magari a volte riesci a dimostrare che se $P$ è soddisfatta per una successione $x_n$ convergente, allora è soddisfatta pure passando al limite. In questo caso puoi concludere che vale su tutto $\mathbb{R}$, dato che ogni reale è limite di una successione di razionali con scrittura decimale finita.

Nel caso di una disuguaglianza (o equazione) questa condizione è soddisfatta abbastanza spesso, dato che le disuguaglianze sono spesso ottenute da funzioni continue.

[afullo]

In ogni caso con la semplice induzione non riuscirai mai a dimostrare che una proprietà valga per tutti gli elementi di un insieme infinito di cardinalità non numerabile, quale è per esempio quello dei numeri reali.

[enigma]

In ogni caso con la semplice induzione non riuscirai mai a dimostrare che una proprietà valga per tutti gli elementi di un insieme infinito di cardinalità non numerabile, quale è per esempio quello dei numeri reali.

Con l'induzione transfinita sì... l'ordinale $\omega_1$ è infinito non numerabile ma l'induzione funziona benissimo

[afullo]

Che non è poi troppo diversa da un passaggio al limite...