Dubbio pre-febbraio

[Rho33]

Salve gente! Non riesco a trovare un errore nella mia soluzione al problema 11 della gara di febbraio del 2014: un pilota di aquiloni ha disputato un buon campionato, arrivando a podio 16 volte. In ogni gara il primo classificato conquista 10 punti, il secondo 8 ed il terzo 5, mentre dal quarto posto in poi non vengono assegnati punti. Con quanti punteggi diversi può aver concluso la gara?

Allora, la mia finta soluzione procede vagamente così: nel caso peggiore è arrivato 16 volte terzo ( 80 punti), quindi ha ottenuto ogni gara 5 punti. Allora, usando questo punteggio di tanti 5 come base, posso considerare ogni nuovo punteggio ottenibile da questo cambiando i 5 con gli 8 oppure con i 10. Ciò equivale ad aggiungere rispettivamente 3 o 5 punti al punteggio base. Allora, essendo il massimo punteggio ottenibile 160 ( 16 volte primo) sto cercando quanti interi [tex]0\leq n \leq 80[/tex] sono esprimibili attraverso l'equazione diofantea [tex]3x+5y=n[/tex]. Ora, per il teorema dei polli( ), dato che [tex](3,5)=1[/tex] ed ovviamente [tex]x,y\geq 0[/tex] , il massimo intero non esprimibile in questo modo è [tex]15-3-5=7[/tex]. A mano si vede che nemmeno [tex]1,2,4[/tex] lo sono. Tutti gli altri punteggi quindi sì, allora in tutto [tex]76[/tex] modi (80-4=76). La soluzione è però 75, dove sbaglio?

[Gerald Lambeau]

Ti manca $x+y \le 16$, perché tu puoi ad esempio ottenere $77$ come $5+3 \cdot 24$ ma non puoi ottenerlo con le limitazioni del problema.

[Rho33]

Grazie Gerald, alla fine ho trovato che i valori erano 81 e non 80 ( non avevo contato lo zero), e rispettando la condizione gli unici valori non ottenibili sono 77 e 79, da cui in tutto [tex]81-4-2=75[/tex].