Generalizzando un lemma

[Rho33]

Salve, è da un pò che mi chiedo se sia vera questa estensione del lemma del guadagno di un primo:

Dati $a,b,n $ naturali, con $(a,b)=1$ è sempre vero che esiste un primo $p$ t.c. $p| (a^n - b^n) $ e $p \not | (a -b)$ ?

Dati $a,b,n $ naturali, con $(a,b)=1$ è sempre vero che esiste un primo $p$ t.c. $p| (a^n +b^n) $ e $p \not | (a +b)$ ?

Dati $a,b,n $ naturali, con $(a,b)=1$ è sempre vero che esiste un primo $p$ t.c. $p| (a^n -b^n) $ e $p \not | (a^k -b^k)$ con $k<n$?

Dati $a,b,n $ naturali, con $(a,b)=1$ è sempre vero che esiste un primo $p$ t.c. $p| (a^n +b^n) $ e $p \not | (a^k +b^k)$ con $k<n$?


Se almeno una di queste generalizzazioni fosse vera, allora innumerevoli diofantee in questa forma verrebbero uccise ( per questo sono molto dubbioso) , sostanzialmente, ad esempio, tutte quelle del tipo :

$a^n+b^n= p^\alpha $ e $ a^n-b^n= p^\alpha$

[Drago]

A te
https://en.wikipedia.org/wiki/Zsigmondy's_theorem
e anche una dimostrazione elementare (ma con un po' di teoria): http://users.ugent.be/~bmichels/files/zsigmondy_en.pdf

In ogni caso direi che questo teorema non è troppo ben visto, ed è consigliabile risolvere la diofantea in altri modi... Poi se sei in gara e sta finendo il tempo, puoi comunque provare ad usarlo, stando attendo ad enunciarlo per bene con tutte le eccezioni

[Rho33]

Wow! Questo è il famigerato teorema! Grazie mille, anche se per comprendere la soluzione un bel pò di strada da fare la ho!