In gara può essere dato per noto che un quadrilatero è inscrivibile se e solo se il punto di intersezione delle due diagonali ha la stessa potenza rispetto alle due diagonali?
E se ho un triangolo con due mediane/altezze/bisettrici uguali posso dire che è iscoscele o devo dimostrare?
Cose note
Re: Cose note
Se con la prima domanda intendi il teorema delle due corde, credo proprio di sì! ( cioè prendi due corde $AB,CD$ che si intersecano in $E$ , allora ovviamente $ABCD $ è ciclico e vale $AE \cdot EB=CE \cdot ED$ ) .
Per quanto riguarda la seconda domanda, tralasciando che con le mediane e le altezze ci vuole una riga l'uno a dimostrarlo, è pure un vecchio Febbraio quindi credo si possa dare per scontato. Per quanto riguarda le bisettrici, sinceramente non so, il teorema si chiama "Steiner-Lehmus" , quindi citandolo correttamente lo dovresti poter usare, altrimenti rifai la dimostrazione, che non è brevissima però.
Per quanto riguarda la seconda domanda, tralasciando che con le mediane e le altezze ci vuole una riga l'uno a dimostrarlo, è pure un vecchio Febbraio quindi credo si possa dare per scontato. Per quanto riguarda le bisettrici, sinceramente non so, il teorema si chiama "Steiner-Lehmus" , quindi citandolo correttamente lo dovresti poter usare, altrimenti rifai la dimostrazione, che non è brevissima però.
Re: Cose note
La cosa delle bisettrici l'avevo fatta la scorsa estate in trigonometria tra l'altro 
Re: Cose note
Ah e si, intendevo l'inverso del teorema delle corde, ovvero che se due segmenti (tu non sai a priori che sono corde) rispettano il teorema delle corde allora sono corde di una stessa circonferenza
Re: Cose note
Ah, ok, l'ho letto soltanto ora! Comunque, mi sbagliavo prima, l'inverso del teorema delle due corde viene in meno di mezza riga 
Sostanzialmente si fa nel classico modo con cui si dimostra l'inverso di Ceva o l'inverso del teorema della bisettrice interna o esterna.
Enunciato: Dati due segmenti $AB,CD$ , sia $P$ la loro intersezione (che esiste ed è distinta dal resto). Se $AP \cdot PB= CP \cdot PD$ allora $ACBD$ ciclico.
Dimostrazione: Sia $\Gamma $ la circoscritta a $\triangle ACB$ . Per assurdo, sia $D'= CD \cap \Gamma$ . Alllora $ACD'B$ è ciclico e per il teorema delle due corde vale: $AP \cdot PB= CP \cdot PD'$ . Ma allora $PD'=PD$ e quindi $D \equiv D'$ .
Sostanzialmente si fa nel classico modo con cui si dimostra l'inverso di Ceva o l'inverso del teorema della bisettrice interna o esterna.
Enunciato: Dati due segmenti $AB,CD$ , sia $P$ la loro intersezione (che esiste ed è distinta dal resto). Se $AP \cdot PB= CP \cdot PD$ allora $ACBD$ ciclico.
Dimostrazione: Sia $\Gamma $ la circoscritta a $\triangle ACB$ . Per assurdo, sia $D'= CD \cap \Gamma$ . Alllora $ACD'B$ è ciclico e per il teorema delle due corde vale: $AP \cdot PB= CP \cdot PD'$ . Ma allora $PD'=PD$ e quindi $D \equiv D'$ .