Campi, anelli e roba varia

[Rho33]

Vi presento due dubbi sorti durante un pomeriggio di riflessione (sono borderline con la MNE ):

1)Cercando di risolvere una Mordell molto random, falliti i tentativi elementari, ho cercato di lavorare in un certo anello $\mathbb{Z}[\sqrt d]$ con $d$ intero. Ora, il dubbio è: c'è un modo per potere trovare tutti gli elementi invertibili di questo anello? Un procedimento generale sarebbe molto gradito, perché finché si tratta di trovare tali elementi per un anello come $\mathbb{Z_{12}}$ (è giusta la notazione? Insieme delle classi di resto modulo $12$ , oppure andrebbe usato $\mathbb{Z} /12 \mathbb{Z}$ ?O $\mathbb{F}_{12}$ ?O cos'altro?) o cose simili e semplici, non c'è nessun problema! Quando si lavora in posti raccapriccianti, per me le cose si complicano

2)Esiste un modo per potere fattorizzare completamente un polinomio (trovando tutte le radici, eventualmente con molteplicità) su un campo/anello finito? Cioè ad esempio trovare tutte le sue radici in $\mathbb{F}_p[x]$ (intendo l'insieme dei polinomi a coefficienti modulo $p$) ?E per dimostrare la sua irriducibilità (ok, questa domanda è la complementare della precedente )?Anche qui un procedimento generale sarebbe gradito!

Inoltre, un qualsiasi libro, dispensa, video, consiglio di non studiare queste cose se non a tempo debito ecc... è molto ben accetto.

P.S.Non abbiate alcuna pietà nel correggere la mia notazione e/o chiarire errori concettuali, non sono sicuro di quasi niente di ciò che ho scritto qui sopra (ma vorrei avere più limpida la faccenda)!

[enigma]

Ti rispondo molto in fretta, ma su queste cose ce ne sarebbe da dire molto di più.

1) Sì, ed è molto semplice. Su $\mathbb Z[\sqrt d]$ hai una norma (quindi moltiplicativa) $N(a+b\sqrt d)=a^2-db^2$. Se $u$ è invertibile, deve valere $1=N(1)=N(uu^{-1})=N(u)N(u^{-1})$, dunque $N(u)$ è invertibile in $\mathbb Z$, e in effetti vale anche il viceversa. Allora basta risolvere la Pell per trovare le unità.
Riguardo alla notazione, $\mathbb Z_{p}$ andrebbe usato per denotare gli interi $p$-adici ($p=12$ non è primo e di solito risulta poco interessante per motivi che non scriverò), che sono una cosa diversa e decisamente meno elementare. $\mathbb Z/12 \mathbb Z$ è l'anello quoziente a cui stai pensando, mentre $\mathbb F_{12}$ non esiste perché sarebbe un campo di $12$ elementi, ma lì non tutti gli elementi non nulil possono essere invertibili; $\mathbb Z/p\mathbb Z$ e $\mathbb F_p$ come insiemi sono "gli stessi" ma cambia la struttura che ci metti.

2) Certo, banalmente l'insieme dei polinomi di grado fissato (e quindi anche dei polinomi irriducibili di grado fissato) con coefficienti in $\mathbb F_p$ è finito (esercizio carino: prova a contarli), quindi elencarli tutti e provare le divisioni è un controllo finito; stesso discorso per trovare le radici. Poi esistono metodi più raffinati, e alcuni criterii di irriducibilità ben noti rimangono validi su $\mathbb F_p$.

Entrambi i punti vengono trattati in corsi elementari di algebra all'università, di solito.

[Rho33]

Innanzitutto, grazie mille per la risposta (in realtà speravo che rispondessi tu ).
Andrò con ordine:
1)Per vedere se ho capito la manipolazione con le norme, provo a trovare le unità in $\mathbb{Z}$ : sia $u=a+ib$ la mia unità e $u^{-1}=c+id$ quell'elemento tale che $u \cdot u^{-1}=1$. Allora, lavorando con le norme, si ottiene che $N(u)=N(a+ib)=a^2+b^2$ . Seguendo il ragionamento e ricordando che la norma è moltiplicativa si ha che:

$$1=N(1)=N(u \cdot u^{-1})=N(u)N( u^{-1}) \iff N(u)=\pm 1 \ \ , \ \ N(u^{-1})= \pm 1$$

Quindi basta risolvere:

$$a^2+b^2= \pm 1 \iff a^2+b^2=1 \iff \ \ (a,b)=(\pm 1,0),\ \ (0, \pm 1)$$

Le unità sono: $\pm 1 ,\ \ \pm i$

Inoltre, se non sto sbagliando di grosso, usando la moltiplicatività della norma, si vede subito che $\mathbb{Z}[\sqrt {-d}]$ con $d > 1$ intero, ha sempre solo due unità, $\pm 1$ , infatti: sia $u=a+b \sqrt {-d}$ la mia unità , analogamente a prima si ottiene che:

$$1=N(1)=N(u \cdot u^{-1})=N(u)N( u^{-1}) \iff N(u)=\pm 1 \ \ , \ \ N(u^{-1})= \pm 1$$

Quindi basta risolvere:

$$a^2+db^2= \pm 1 \iff a^2+db^2=1 \iff \ \ (a,b)=(\pm 1,0)$$

Le unità saranno : $\pm 1$

Invece, proprio perché si forma una equazione di Pell classica, per $d > 1$ intero squarefree, $\mathbb{Z}[\sqrt d]$ ha infiniti elementi invertibili.

Ora, dato che i casi con $d$ intero positivo e negativo li avevo sistemati, avevo cercato di trovare le unità negli interi di Eisenstein, cioè in $\mathbb{Z}[\frac {-1+ \sqrt {-3}}{2}]$ ma non avevo concluso granché: $d$ questa volta fa parecchio schifo, è una radice cubica dell'unità quindi detta $\zeta = \frac {-1+ \sqrt {-3}}{2}$ vale ovviamente $1 + \zeta + {\zeta }^2=0$

Ora, sia $u=a+\zeta b$ , si ottiene che $N(u)=a^2-ab+b^2$ e quindi si deve risolvere $a^2-ab+b^2= \pm 1$ , purtroppo non ho ancora concluso molto!

Bene, finito questo lungo discorso, passiamo avanti!

Se hai tempo, mi diresti perché risulta poco interessante scegliere un $p$ non primo?

Quindi, se non ho capito male, l'unica differenza tra $\mathbb{Z}/p \mathbb{Z}$ e $\mathbb{F}_p$ è che il primo è un anello mentre il secondo è un campo finito, giusto? Per il resto hanno gli stessi elementi.

Un campo finito $\mathbb{F}_p$ con $p$ elementi (con $p$ primo) esiste sempre poiché ogni elemento non nullo è invertibile, infatti $\forall a \not =0 \in \mathbb{F}_p\ \ , (a,p)=1 $, vale Euler-Fermat, e quindi $a \cdot a^{\varphi (p) -1} =a \cdot a^{p-2} \equiv 1 \pmod p $ , giusto?

2)Per il conteggio: fissato un grado $n$ , l'insieme di tutti i polinomi a coefficienti in $\mathbb{F}_p$ è fissato e contiene $(p-1) \cdot p^n$ elementi (scelgo il leading term in $p-1$ modi ed i restanti in $p$ modi). Il numero di polinomi irriducibili invece non credo sia così facile da trovare e quindi ci sto ancora pensando .

Ok, mi faresti qualche esempio di "metodi raffinati" e di criteri di irriducibilità che rimangono validi? (io conosco a malapena Eisenstein)

Infine, così per curiosità, mi consiglieresti qualche testo di algebra completo con esercizi molto molto impegnativi? (magari per ora non mi sarà molto utile, anche se devo ammettere che questi argomenti mi affascinano non poco, ma sicuramente in futuro potrebbe essere un valido strumento). Grazie ancora per la disponibilità !

[enigma]

1) I calcoli per $\mathbb Z[\sqrt{-d}]$ sono giusti.
Per quanto riguarda gli interi di Eisenstein da lì è un attimo concludere perché è più facile di quel che sembra: pensa che $a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$...
Il motivo principale per cui i $p$-adici per $p$ non primo sono poco interessanti è che hai dei divisori di zero (due elementi non nulli che moltiplicati danno lo $0$!), mentre se $p$ è primo è tutto invertibile e sui campi puoi dire molte, molte più cose; inoltre, in termini metrici, non hai la distanza $p$-adica con cui li definisci come spazio metrico, e non ci puoi fare la teoria delle valutazioni sopra perché non esiste, ad esempio, una valutazione $10$-adica... se invece intendevi $\mathbb F_p$, la risposta è sempre quella: campo è bello (ma vanno bene anche le potenze di primi, vedi sotto).
Dire che due anelli hanno "gli stessi elementi" in termini astratti ha poco senso, ma comunque sì, se prendi $\mathbb F_p$ e ti "dimentichi" della mappa $x \mapsto x^{-1}$ hai proprio $\mathbb Z/p\mathbb Z$.
L'esistenza di campi finiti con $p$ elementi è facile ed è proprio come hai scritto. Più impegnativo è mostrare (esercizio difficile) che esistono campi finiti con $p^n$ elementi per ogni potenza di primo (non basta prendere $\mathbb Z /p^n \mathbb Z$!); per un numero di elementi che non è potenza di un primo non ne esistono (esercizio facile).

2) Il conteggio di quelli irriducibili richiede come strumenti principali il fatto che $\mathbb F_p[x]$ è a fattorizzazione unica, e da lì è un double counting cui si applica poi l'inversione di Möbius.
Per un po' di algoritmi buoni di fattorizzazione puoi cominciare ad esempio da questa pagina e poi vedere cosa ti interessa.
Per quanto riguarda un libro, l'Algebra di Herstein non è il massimo come spiegazioni della teoria, ma ha la migliore raccolta di esercizi sulla piazza, io comincerei da lì studiando in parallelo la teoria su qualche altro libro.