Oltre la reciprocità quadratica

[Rho33]

Di recente sto provando ad approfondire reciprocità quadratica ed affini, cose molto interessanti ed ingegnose devo ammettere, ma credo sia abbastanza naturale domandarsi se esistano delle reciprocità superiori (tipo cubiche, quartiche, ecc..). Sinceramente, dato che non fanno parte del programma olimpico, credo siano cose abbastanza avanzate ma ero curioso di saperne qualcosa in più!

[enigma]

Sì, esistono, e sono state una delle motivazioni principali per un sacco di sviluppi della teoria dei numeri nel secolo scorso.
La reciprocità cubica è facile e carina, non richiedendo molto di più della reciprocità quadratica-solo un po' di ciclotomia.
Seguono, in ordine di sofisticazione e di generalità crescente: reciprocità di Eisenstein, reciprocità di Hilbert, reciprocità di Artin, reciprocità di Langlands.