Normalizzazione

[polarized]

Mi chiedevo, avendolo rimosso dalla memoria, il motivo per cui in espressioni omogenee (definizione di omegeneità?) di grado zero (per esempio) in tre variabili $a,b,c$ io possa porre $a+b+c=1$
Inoltre, che altre condizioni posso porre a seconda del grado di omogeneità?

Ringrazio in anticipo chiunque si proponga a schiarirmi le idee

[Rho33]

Omogeneizzare e normalizzare sono due concetti sostanzialmente opposti, qui EvaristeG spiega, a mio parere, molto bene, cosa vuol dire omogeneizzare http://www.oliforum.it/viewtopic.php?f= ... re#p146099

Invece, per quanto riguarda normalizzare, sostanzialmente si fa così (disuguaglianza classica $a^3+b^3+c^3-3abc \geq 0$ con $a,b,c \geq 0$): scegli un vincolo (omogeneo!) che ti potrebbe tornare utile per risolvere la disuguaglianza (mi raccomando, omogenea!), esempi classici $a+b+c=1$ o $abc=1$. Bene, abbiamo scelto il primo, ecco perché vale: poni $a+b+c=k$ e $a=ka',b=kb',c=kc'$ (ovvio che posso farlo, scegliendo opportunamente $a',b',c'$). Ora sommiamo ed otteniamo:

$$k=a+b+c=k(a'+b'+c') \iff a'+b'+c'=1$$

Ma se io sostituisco nella disuguaglianza iniziale ottengo:

$$k^3(a'^3+b'^3+c'^3-3a'b'c') \geq 0 \iff a'^3+b'^3+c'^3-3a'b'c' \geq 0$$

Quindi ho ottenuto la stessa disuguaglianza iniziale, in cui però vale il mio vincolo!(posso farlo soltanto perché è omogenea). Ora si conclude rapidamente:

$$(a'+b'+c')(a'^2+b'^2+c'^2-a'b'-a'c'-b'c') \geq 0 \iff a'^2+b'^2+c'^2 \geq a'b'+a'c'+b'c'$$

E quest'ultima viene in millemila modi.

Ovviamente stesso discorso con $abc=1$. Poni $abc=k^3$ e $a=ka',b=kb',c=kc'$. Procedimento analogo, ottieni la nuova disuguaglianza in cui vale $a'b'c'=1$.

[polarized]

Grazie mille!
Se ho capito bene sostanzialmente l'omogenizzazione è utile per ricondursi ad una disuguaglianza nota mentre la normalizzazione serve per imporre vincoli utili a semplificarci la vita

Ti ringrazio ancora Rho