Dovrebbe essere un MUST per tutti gli olimpionici che si occupano specialmente di Algebra, ma lo riposto nella speranza che i nuovi iscritti che non la conoscano, la imparino. Passiamo al dunque.
Cosa fa?
Ti permette di fattorizzare $x^2+y^2$. Wow
A che condizione?
$2xy$ deve essere un quadrato.
Il trucchetto e' aggiungere alla somma dei quadrati, proprio $2xy$ per poi toglierlo. Vediamo:
$a^4 + 4b^4=a^4+4a^2b^2+4b^4-4a^2b^2$
Notiamo nell'$RHS$ che $a^4+4a^2b^2+4b^4$ e' $(a^2+2b^2)^2$, e che $4a^2b^2=(2ab)^2$. Riscriviamo quindi:
$a^4+4a^2b^2+4b^4-4a^2b^2=(a^2+2b^2)^2-(2ab)^2$. Notiamo che questa e' una differenza di 2 quadrati, e sappiamo bene che $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$
Quindi
$(a^2+2b^2)^2-(2ab)^2=(a^2+2b^2+2ab)(a^2+b^2-2ab)$.
Questo trucchetto e' molto utile in diversi problemi: Ve ne lascio uno dalla gara nazionale della vecchia URSS.
--Is $4^{545} + 545^4$ a prime?
Piccolo Hint:
Testo nascosto:
