Olimpiadi della Matematica Torino - OliMaTO - Forum

Ho notato che alcuni problemi di geometria anche abbastanza difficili vengono risolti applicando un'inversione alla figura. Potete spiegarmi come funziona, quali sono i vantaggi, come faccio - generalmente - a dimostrare che uno specifico punto viene mandato in un altro (e allo stesso modo rette e circonferenze) e quali "segnali" vi indirizzano su questa strada quando avete di fronte un certo problema?

Rispondo con quel che so.
Fissato un centro $O$ e un raggio $r$ ogni punto $P \not=O$ del piano viene mandato nel punto $P'$ sulla retta $OP$ che stia dalla stessa parte di $P$ rispetto a $O$ e tale che $OP \cdot OP'=r^2$; se ti ricordi la definizione, riesci anche a capire come fa un punto a essere mandato in un altro. Uno stratagemma può essere usarla insieme a una simmetria che manda rette per $O$ in rette per $O$ (ad esempio rispetto alla bisettrice di due rette intersecantesi in $O$): questo permette di sfruttare similitudini tra i triangoli per capire quali punti si scambiano tra loro.
Per le rette e le circonferenze ricorda:
- le rette per $O$ vanno in loro stesse, quindi è facile;
- le circonferenze non per $O$ vanno in altre circonferenze non per $O$, quindi ti serve capire dove vanno almeno tre punti distinti di una circonferenza per capire dove va tutta la circonferenza;
- rette non per $O$ in circonferenze per $O$, quindi ti bastano due punti per la retta, ma anche per la circonferenza, perché sai che passa per $O$ quindi un punto ce l'hai già.
I vantaggi sono che si conservano gli angoli e che i rapporti/prodotti tra segmenti sono facili da gestire.
Per quanto riguarda l'ultima domanda non lo so, non ho mai usato inversioni al di fuori di problemi noti.

Grazie mille!

Gerald Lambeau ha scritto:Uno stratagemma può essere usarla insieme a una simmetria che manda rette per $O$ in rette per $O$ (ad esempio rispetto alla bisettrice di due rette intersecantesi in $O$): questo permette di sfruttare similitudini tra i triangoli per capire quali punti si scambiano tra loro. [...] non ho mai usato inversioni al di fuori di problemi noti.

Non ho ben capito, mi puoi fare qualche esempio pratico (tipo qualcuno di questi problemi noti), così mi chiarisco meglio la cosa? Grazie

L'esercizio più famoso è questo: http://forum.olimato.org/post23247.html#p23247.
Inversione in $A$ è raggio $\sqrt{AB \cdot AN}=\sqrt{AC \cdot AM}$ più simmetria rispetto alla bisettrice di $\widehat{BAC}$ per mandare $B$ in $N$ e $C$ in $M$. Sai due rette che si incontrano in $P$, sai in quali circonferenze vanno, vorresti che queste due passassero per $Q$ così $P$ va in $Q$ da cui la tesi (perché?). Sfrutta le due circonferenze del testo per dimostrare quello che ti serve.