Vorrei raccogliere, in maniera collaborativa, in un'unica discussione alcuni fatterelli interessanti sulle equazioni funzionali.
Lo stile della discussione sarà del tipo: definizione - proposizione - dimostrazione fatta da qualche utente del forum - eventuali osservazioni, ecc..
Il livello della discussione sarà medio-alto, ma sono sicuro che i lettori più coraggiosi procederanno senza grossi problemi.
Direi di tenere in questa discussione solo gli enunciati, le dimostrazioni dei singoli fatti le mettiamo nella sezione esercizi e le linkiamo qui.
Cominciamo...
1. Equazione di Cauchy dell'additività
Definizione 1.1
Sia [tex]f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}[/tex] una funzione tale che [tex]f(x+y) = f(x) + f(y)[/tex] [tex]\forall x,y \in \mathbb{R}[/tex]. Tale funzione è definita funzione additiva.
Proposizione 1.1
Sia [tex]f : \mathbb{Q} \longrightarrow \mathbb{Q}[/tex] una funzione tale che [tex]f(x+y) = f(x) + f(y)[/tex] [tex]\forall x,y \in \mathbb{Q}[/tex]. Allora i punti del diagramma di f stanno su una retta, ovvero, [tex]\exists \lambda \in \mathbb{Q}[/tex] t.c. [tex]f(x) = \lambda x[/tex] per ogni x razionale.
Dimostrazione
Equazioni Funzionali
Re: Equazioni Funzionali
Funzione iniettiva e suriettiva
Sia $f: A \to B$, eventualmente anche $A = B$. Se $\forall x_1 \neq x_2$, $f(x_1) \neq f(x_2)$, allora tale f si dice iniettiva.
Se $\forall y \in B \exists x \in A$ tale che $f(a)=b$, allora tale f si dice suriettiva.
Come usare queste cose
Suppongo f iniettiva, allora posso "semplificare" le f, ad esempio se $f(f(x))=f(x)$ per ogni x, allora $f(x)=x$ per ogni x.
Suppongo f suriettiva. Qui l'uso è più oscuro, ma posso dire ad esempio che esiste un valore fissato tale per cui $f(tale \ valore)=altro \ valore$ e molto spesso serve per dire che esiste un k tale che $f(k)=0$, o cose simili.
Se abbiamo f composto g iniettiva, allora g è iniettiva, se la composizione è suriettiva, allora f è suriettiva.
Come ricavare queste cose
Non esistono metodi generali, ma quelli che si usano spessissimo sono due e sono
1) se ho due quantità uguali tra di loro che chiamerò C e D, allora se C può assumere qualsiasi valore di un insieme, allora lo può fare anche D.
2) per la sola iniettività, se $f(x_1)=f(x_2) \rightarrow x_1=x_2$, allora la f è iniettiva.
Esempio
Trovare tutte le f da reali a reali tali che
$$f(xf(x)+f(y))=f(x)^2+y$$
Soluzione
Pongo $x=0$ e ottengo $f(f(y))=f(0)^2+y$
Da questa dimostro che f(f(x)) è biettiva, infatti la parte di destra può variare in tutto R, infatti se voglio far assumere un certo valore a alla parte di destra, pongo $y=a-f(0)^2$ e quindi la parte destra è biettiva, e quindi sarà biettiva anche f(f(x)), ma allora f è iniettiva e suriettiva e allora esiste un k tale che $f(k)=0$.
Pongo $x=k$ e ottengo $f(f(y))=y$ e quindi $f(0)=0$. Adesso shifto tutti i valori di x in f(x). Qui il formalismo dovrebbe sprecarsi, ma sorvoliamo.
Anche questo arnese che ho usato è importante, cioè posso far valere altre relazioni che per me vanno bene, cioè creo altre uguaglianze. Ottengo cioè $f(f(x)f(f(x))+f(y))=[f(f(x))]^2+y$ e sfruttando il fatto che $f(f(y))=y$ ottengo $f(xf(x)+f(y))=x^2+y$ e quindi, sotraendo membro a membro questa equazione con quella del testo ottengo che $f(x)^2=x^2$ e quindi $f(x) = \pm x$.
Soddisfatti??? Manco per niente!!!!! In gara vi darebbero forse 1 punto per queste cose (e sottolineo vi DAREBBERO, non TOGLIEREBBERO) perchè non avete fatto due cose importanti che vi devo segnalare
1) OCCHIO AI MISTONI
2) CONTROLLARE LE SOLUZIONI
Mi spiego..
1)Noi abbiamo detto che $f(x)^2=x^2$ per ogni x, ma non possiamo prendere la radice e concludere con due segni davanti. Cioe potrebbero esistere a e b tali che $f(a)=a$ e $f(b)=-b$.
2)Bisogna sempre controllare le soluzioni trovate.
Allora riprendo il testo iniziale $f(xf(x)+f(y))=f(x)^2+y$
Caso 1 Se vale $f(a)=a$ per ogni a allora sostituisco e vedo che funziona.
Caso 2 Se vale $f(a)=-a$ per ogni a allora sostituisco e ottengo $f(-x^2-y)=x^2+y$ e anche questa perciò funziona.
Caso 3 Se vale $f(a)=a$ e $f(b)=-b$ (con a e b diversi da 0) allora pongo $x=a$ e $y=b$ e ottengo $f(a^2-b)=a^2+b$. Se $f(a^2-b)=a^2-b$, non ho l'uguaglianza; se $f(a^2-b)=-a^2+b$, non ho l'uguaglianza e quindi le uniche due soluzioni sono $f(x)=x$ e $f(x)=-x$ per ogni x.
Sia $f: A \to B$, eventualmente anche $A = B$. Se $\forall x_1 \neq x_2$, $f(x_1) \neq f(x_2)$, allora tale f si dice iniettiva.
Se $\forall y \in B \exists x \in A$ tale che $f(a)=b$, allora tale f si dice suriettiva.
Come usare queste cose
Suppongo f iniettiva, allora posso "semplificare" le f, ad esempio se $f(f(x))=f(x)$ per ogni x, allora $f(x)=x$ per ogni x.
Suppongo f suriettiva. Qui l'uso è più oscuro, ma posso dire ad esempio che esiste un valore fissato tale per cui $f(tale \ valore)=altro \ valore$ e molto spesso serve per dire che esiste un k tale che $f(k)=0$, o cose simili.
Se abbiamo f composto g iniettiva, allora g è iniettiva, se la composizione è suriettiva, allora f è suriettiva.
Come ricavare queste cose
Non esistono metodi generali, ma quelli che si usano spessissimo sono due e sono
1) se ho due quantità uguali tra di loro che chiamerò C e D, allora se C può assumere qualsiasi valore di un insieme, allora lo può fare anche D.
2) per la sola iniettività, se $f(x_1)=f(x_2) \rightarrow x_1=x_2$, allora la f è iniettiva.
Esempio
Trovare tutte le f da reali a reali tali che
$$f(xf(x)+f(y))=f(x)^2+y$$
Soluzione
Pongo $x=0$ e ottengo $f(f(y))=f(0)^2+y$
Da questa dimostro che f(f(x)) è biettiva, infatti la parte di destra può variare in tutto R, infatti se voglio far assumere un certo valore a alla parte di destra, pongo $y=a-f(0)^2$ e quindi la parte destra è biettiva, e quindi sarà biettiva anche f(f(x)), ma allora f è iniettiva e suriettiva e allora esiste un k tale che $f(k)=0$.
Pongo $x=k$ e ottengo $f(f(y))=y$ e quindi $f(0)=0$. Adesso shifto tutti i valori di x in f(x). Qui il formalismo dovrebbe sprecarsi, ma sorvoliamo.
Anche questo arnese che ho usato è importante, cioè posso far valere altre relazioni che per me vanno bene, cioè creo altre uguaglianze. Ottengo cioè $f(f(x)f(f(x))+f(y))=[f(f(x))]^2+y$ e sfruttando il fatto che $f(f(y))=y$ ottengo $f(xf(x)+f(y))=x^2+y$ e quindi, sotraendo membro a membro questa equazione con quella del testo ottengo che $f(x)^2=x^2$ e quindi $f(x) = \pm x$.
Soddisfatti??? Manco per niente!!!!! In gara vi darebbero forse 1 punto per queste cose (e sottolineo vi DAREBBERO, non TOGLIEREBBERO) perchè non avete fatto due cose importanti che vi devo segnalare
1) OCCHIO AI MISTONI
2) CONTROLLARE LE SOLUZIONI
Mi spiego..
1)Noi abbiamo detto che $f(x)^2=x^2$ per ogni x, ma non possiamo prendere la radice e concludere con due segni davanti. Cioe potrebbero esistere a e b tali che $f(a)=a$ e $f(b)=-b$.
2)Bisogna sempre controllare le soluzioni trovate.
Allora riprendo il testo iniziale $f(xf(x)+f(y))=f(x)^2+y$
Caso 1 Se vale $f(a)=a$ per ogni a allora sostituisco e vedo che funziona.
Caso 2 Se vale $f(a)=-a$ per ogni a allora sostituisco e ottengo $f(-x^2-y)=x^2+y$ e anche questa perciò funziona.
Caso 3 Se vale $f(a)=a$ e $f(b)=-b$ (con a e b diversi da 0) allora pongo $x=a$ e $y=b$ e ottengo $f(a^2-b)=a^2+b$. Se $f(a^2-b)=a^2-b$, non ho l'uguaglianza; se $f(a^2-b)=-a^2+b$, non ho l'uguaglianza e quindi le uniche due soluzioni sono $f(x)=x$ e $f(x)=-x$ per ogni x.