Olimpiadi della Matematica Torino - OliMaTO - Forum

Ciao a tutti, mi sto esercitando per le Olimpiadi e ho un dubbio per quanto riguarda, dati due polinomi [tex]p(x)[/tex] e [tex]q(x)[/tex], la scrittura [tex]p(q(x))[/tex] .

Detti [tex]m[/tex] ed [tex]n[/tex] il loro grado, rispettivamente, come mai il grado di [tex]p(q(x))[/tex] è [tex]mn[/tex] ? Avrete capito in molti che si tratta di un quesito di febbraio, vero? E' un passaggio che non riesco a capire

Siano [tex]p(x) = a_m x^m + a_{m-1} x^{m-1} + \ldots + a_1 x + a_0[/tex] e [tex]q(x) = b_n x^n + b_{n-1} x^{n-1} + \ldots + b_1 x + b_0[/tex], con [tex]a_m \neq 0[/tex] e [tex]b_n \neq 0[/tex]. Allora

[tex]p(q(x)) = p(b_n x^n + b_{n-1} x^{n-1} + \ldots + b_1 x + b_0) = a_m (b_n x^n + b_{n-1} x^{n-1} + \ldots + b_1 x + b_0)^m + a_{m-1} (b_n x^n + b_{n-1} x^{n-1} + \ldots + b_1 x + b_0)^{m-1} + \ldots[/tex]

dove il termine di grado più alto è [tex]a_m b_n^m x^{mn}[/tex].