Dato che ho deciso di iniziare ufficialmente il mio allenamento per Febbraio/Cesenatico, ho avuto un'idea (non originale): perché non registrare tutti procedimenti che conducono alla soluzione di un problema? Questo è indubbiamente utile per me (che posso allenarmi a scrivere sketch di soluzioni [e da qui ad arrivare ad una scrittura pulita il passo è breve]), ma potrebbe esserlo anche per quelle persone che cercano idee da utilizzare nelle dimostrazioni piuttosto che scarni tecnicismi che molte volte bloccano gli ingranaggi del cervello piuttosto che oliarli. Cercherò di mantenere una media di due/tre problemi al giorno pescati da varie fonti (per la maggior parte dimostrativi di Febbraio e Cesenatico).
Questo è quel che ho potuto fare oggi nei ritagli di tempo. Non assicuro soluzioni corrette al 100% ed in questo mi affido agli altri utenti del forum, se notate errori grossi o piccoli fate un fischio. Ovviamente prima di aprire gli spoiler provate a risolverli
Cesenatico (n°1 del 1989) : Dire se l’equazione [tex]x^2 + xy + y^2[/tex] ammette soluzioni [tex](x, y[/tex]) con [tex]x[/tex] e [tex]y[/tex] entrambi razionali.
Testo nascosto:
Che vorrà dire con "ammette soluzioni"? Boh, presumo intenda di ricercare le eventuali radici razionali del polinomio, ossia
[tex]x^2+xy+y^2=0[/tex]
Ad occhio direi che quella roba non si annulla mai (se non per la coppia banale [tex](0,0)[/tex]), ci sono due quadrati (quindi sempre >0).
Come diavolo è quella riscrittura di un polinomio di secondo grado?
[tex]ax^2+bx+c[/tex]
Raccolgo [tex]a[/tex] e provo a completare i quadrati
Ho un quadrato ed una frazione che vorrei fosse il doppio prodotto fra il quadrato di [tex]x[/tex] e un'altra roba, usiamo lo scarabocchio § [tex](x+§)^2=x^2+2x§+§^2[/tex], voglio [tex]\displaystyle 2§x=\frac{b}{a}x[/tex], quindi [tex]\displaystyle §=\frac{b}{2a}[/tex].
Aggiungo e tolgo [tex]\displaystyle §^2=\frac{b^2}{4a^2}[/tex]
E bingo! Una somma di quadrati è nulla solo se lo sono le basi, quindi l'unica soluzione razionale (e reale) è [tex]x=y=0[/tex]
Cesenatico (n° 4 del 1989): Su una circonferenza consideriamo cinque punti che chiamiamo, ordinatamente, [tex]A, M, B, C, D[/tex], e sia [tex]M[/tex] equidistante da [tex]A[/tex] e da [tex]B[/tex]. Siano inoltre [tex]E[/tex] ed [tex]F[/tex] rispettivamente le intersezioni di [tex]MD[/tex] con [tex]AC[/tex] e di [tex]MC[/tex] con [tex]BD[/tex]. Si dimostri che il quadrilatero [tex]CDEF[/tex] è inscrivibile in una e circonferenza.
Testo nascosto:
La parte più complessa è disegnare la figura (Da aggiungere in seguito).
Il fatto che [tex]AM=MB[/tex] vuole dire che il triangolo [tex]AMB[/tex] è isoscele, quindi [tex]\angle MAB= \angle MBA[/tex].
Notiamo che l'angolo [tex]\angle MCA[/tex] insiste sullo stesso arco su cui insiste [tex]\angle MBA[/tex] e quello [tex]\angle BDM[/tex] sulla stessa corda su cui insiste anche [tex]\angle MAB[/tex], ossia [tex]\angle MCA=\angle BDM= \angle MBA[/tex]. Quindi il quadrilatero [tex]CDEF[/tex] ha due pezzi angoli sulla base uguali, che sia un trapezio isoscele? (in tal caso sarebbe ciclico. E' da dimostrare?
Sia [tex]O[/tex] l'intersezione tra i segmenti [tex]BD[/tex] e [tex]AC[/tex], il quadrilatero [tex]OAMB[/tex]sembra tanto un rombo, e questo forzerebbe il triangolo [tex]ODC[/tex] ad essere isoscele e conseguentemente lo sarebbe anche il trapezio. Con un'analisi più attenta vediamo che [tex]\angle AOM= \angle MOB=\angle MAB[/tex], quindi il segmento [tex]MO[/tex] è bisettrice dell'angolo [tex]\angle AOB[/tex] ed anche asse di [tex]AB[/tex], conseguentemente [tex]OAMB[/tex] è un parallelograma ed in particolare un rombo perché [tex]AM=MB[/tex]. Ed abbiamo la tesi.
Il fatto che un trapezio isoscele è ciclico deriva dal fatto che un poligono è ciclico se i suoi angoli opposti sono complementari e per il trapezio si dimostra in pochi secondi (per voi ).
Buona idea Gizeta! Scrivere il flusso di pensiero è molto utile sia per se stessi che per gli altri!
Ti proporrei solo questa cosa: invece di scrivere tutto in un unico topic, perché non fai un topic in cui raccogli i link agli esercizi che cercherai di attaccare qui in teoria, e poi per ogni singolo esercizio apri un 3d in Esercizi (facendo poi presente magari nei singoli esercizi che fanno parte di questo tuo progetto di flussi di pensieri giornalieri)? Così faciliterai molto la vita ai futuri utenti di questo forum quando cercheranno un esercizio specifico.
@Archimede:Si, però è la prima cosa che mi è venuta in mente quella che ho scritto, inoltre è un modo abbastanza sistematico per mostrare che un'espressione è sempre [tex]\ge 0[/tex]. Si sarebbero anche potuti tranquillamente completare i quadrati nell'espressione iniziale.
@Drago: Per me non c'è problema, quel che suggerisci tu è sicuramente meglio per mantenere un po' più di ordine
Quando ci sono di mezzo massimi, minimi, o soluzioni di polinomi a più variabili, può essere utile un po' di analisi; anche se olimpionicamente parlando non viene considerata matematica elementare, e le dimostrazioni di quello che si fa utilizzano concetti che superano quelli dei primi anni del liceo, permette di sbloccare la situazione qualora le vie tradizionali non abbiano successo, specie nella gara a squadre (ma credo che anche in un'individuale non sarebbe contato sbagliato un simile procedimento).
Nella fattispecie, per [tex]x^2 + xy + y^2[/tex], possiamo ragionare nella seguente maniera:
eventuali punti di massimo o di minimo devono annullare il gradiente, cioè il vettore delle derivate prime, ovvero: [tex](2x+y, x+2y)=(0,0)[/tex]
che ha banalmente come unica soluzione la coppia [tex](x,y)=(0,0)[/tex] (trattandosi di un sistema omogeneo determinato)
la matrice hessiana (delle derivate seconde) è costante (non dipende né da x, né da y), e pari a: [tex]\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}[/tex]
Il suo determinante è 3, e l'elemento in alto a sinistra è 2: essendo entrambi positivi, il punto in questione è un minimo stretto.
Di conseguenza il polinomio si annulla solo nell'origine.
Nei prossimi giorni magari scriverò qualcosa di più nel dettaglio circa l'analisi, questo è solo per dare un'idea di come a fronte dell'applicazione di procedure semplici, si riesca ad arrivare a risultati potenti...
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