In questo topic inserisco un po' di nozioni di analisi utili come ausilio alle gare. Ricordo che i problemi non sono concepiti per essere risolti con essa, incoraggiando piuttosto lo sviluppo di ragionamenti a partire da strumenti di altra caratura e generalmente più semplici, tuttavia le tecniche che esporrò possono essere d'aiuto.
Derivata di un monomio monico in una variabile:
Sia dato un monomio monico [tex]x^n[/tex]. Allora la sua derivata è il monomio, non monico, [tex]n x^{n-1}[/tex]. Se il monomio è quello costante [tex]1[/tex], allora la sua derivata è [tex]0[/tex].
Derivata di un monomio qualsiasi in una variabile:
La derivata è un funzionale lineare: ciò significa tra le altre cose che, se [tex]D[/tex] è l'operatore di derivazione e [tex]c[/tex] è una costante, allora [tex]D(c \cdot f(x)) = c \cdot D(f(x))[/tex]. Questo permette di scrivere immediatamente la derivata di un monomio univariato che non sia monico.
Derivata di un polinomio qualsiasi in una variabile:
Il fatto che la derivata sia un funzionale lineare significa anche che [tex]D(f(x)+g(x)) = D(f(x)) + D(g(x))[/tex], e se [tex]\alpha[/tex] e [tex]\beta[/tex] sono costanti, [tex]D(\alpha f(x) + \beta g(x)) = \alpha D(f(x)) + \beta D(g(x))[/tex]. Essendo un polinomio una somma di monomi, la formula segue.
Derivata parziale di un polinomio in più variabili:
Si considera il polinomio come dipendente soltanto dalla variabile rispetto alla quale si vuole derivare, trattando le altre come costanti. Per esempio, il polinomio [tex]xy[/tex] può essere derivato sia rispetto ad [tex]x[/tex], e in tal caso [tex]D_x(xy)=y[/tex], sia rispetto a [tex]y[/tex], laddove [tex]D_y(xy)=x[/tex].
Notazione sulle derivate:
Oltre al generico [tex]D[/tex] per il funzionale, con eventuale pedice, si utilizza [tex]\frac{df}{dx}[/tex] per la derivata nel caso univariato, e [tex]\frac{\partial f}{\partial x}[/tex] per la derivata parziale.
Derivata seconda e successive:
La derivata seconda è semplicemente la derivata della derivata, e analogamente per le successive. Nel caso parziale le derivazioni successive possono essere svolte anche rispetto a variabili diverse. In questo caso l'ordine di derivazione è ininfluente: prendendo di nuovo [tex]xy[/tex], entrambe le derivate seconde miste fanno [tex]1[/tex].
Punti critici:
Nel caso univariato, sono i punti nei quali la derivata (prima) si annulla; in quello multivariato, sono i punti in cui tutte le derivate parziali prime (che formano un vettore detto gradiente) si annullano. Massimi e minimi interni di polinomi sono caratterizzati sempre dall'essere punti critici, ma non vale il viceversa: un punto critico non è necessariamente un massimo oppure un minimo, oppure può esserlo ma solo locale e non globale. Tuttavia la ricerca di tali punti restringe l'insieme dei candidati.
Classificazione dei punti critici:
Nel caso di dimensione 1, si guarda il segno della derivata seconda in quel punto: se è positiva, trattasi di minimo; se è negativa, trattasi di massimo; se è nulla, si passa alla derivata terza. Se essa non è nulla, allora non è né minimo né massimo; se lo è, si passa alla derivata quarta, sulla quale valgono le stesse considerazioni della seconda. In generale, se la prima non nulla è una derivata dispari, non siamo in presenza di un minimo o di un massimo; se è pari, sì, distinguendo come per la seconda.
Nel caso di dimensione maggiore di 1, si fa la matrice delle derivate seconde parziali, e si calcolano gli autovalori: se sono tutti positivi, trattasi di minimo; se sono tutti negativi, di massimo; se ce ne sono sia di positivi che di negativi, né di minimo né di massimo; se ce ne sono di nulli, sono richieste in generale ulteriori osservazioni. Ok, non ho detto in che modo inserire gli elementi all'interno di questa matrice, ammesso che abbiate visto di che oggetto matematico si tratta, e non è facile che abbiate incontrato prima d'ora il concetto di autovalore, ma per ora non importa: tante volte il modo in cui è posto un quesito olimpionico permette di evitare questa verifica, visto che per esempio se il problema vi chiede un minimo, si dà già per assunto che esso esista, e se i punti critici sono in numero limitato, basta confrontare i valori su di essi, se poi è uno soltanto...
Attenzione solo al fatto che si parli di punti "interni": se un punto P è di massimo, e non ci sono altri punti di massimo, oppure ce ne sono ma su di essi la funzione raggiunge valori inferiori, non è detto che P sia massimo globale, in quanto la funzione potrebbe crescere indefinitamente agli estremi del dominio, senza la presenza di altri punti di massimo locale. Per esempio, se [tex]f(x) = (1-x^2)^2[/tex], [tex]x=0[/tex] è l'unico punto di massimo locale, ma [tex]f(x) = 1[/tex] non è di certo il valore di massimo globale.
Il fatto è che in un caso come quello sopra un massimo non esisterebbe, per cui se il problema vi dice che c'è, questa situazione non può presentarsi. Sempre che non si lavori su di un dominio limitato: per esempio, se prima avessimo lavorato su [tex][-3, 3][/tex], il massimo globale ci sarebbe stato e non sarebbe coinciso con il locale trovato analiticamente; in una situazione del genere, oltre ai punti critici, bisogna anche controllare i valori sugli estremi del dominio, e in effetti [tex]f(3) = f(-3) = 64[/tex] è il massimo globale. Ma solitamente non escono quesiti del genere.
Ed oltre ai polinomi?
I risultati sopra elencati valgono per classi di funzioni note ed ampie, ma non per tutte. Iniziamo dai polinomi perché sono una classe notevole che compare molto spesso nei problemi di massimo e minimo.
Nozioni di calcolo infinitesimale
Re: Nozioni di calcolo infinitesimale
Esempio: Determinare il minimo del polinomio [tex]f(x,y) = x^2 + xy + y^2[/tex]
Svolgimento: Innanzitutto leggiamo attentamente il testo del problema: esso ci richiede di determinare il minimo, e da tale formulazione si evince già che questa quantità esiste. Ok, potrebbe esserci una fregatura assurda del tipo che c'è tra le risposte "non ha minimo" (per esempio in una provinciale) oppure che in una gara a squadre la risposta da dare è quella relativa a "il problema non ha soluzione", ma è enormemente improbabile.
Cerchiamo i punti critici: tali punti sono tutti e soli quelli che soddisfano [tex](\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}) = (2x+y, x+2y) = (0,0)[/tex], che ha come unica soluzione la coppia [tex](x,y)=(0,0)[/tex], in cui la funzione vale [tex]0[/tex].
Il fatto che ci sia un unico punto critico dovrebbe già permettere di trarre le conclusioni: stiamo lavorando su di un dominio illimitato, non c'è un bordo sul quale possono essere assunti valori più piccoli, e se in qualche direzione la funzione decrescesse illimitatamente, allora non avrebbe minimo, la cui esistenza abbiamo invece noi dato per assodata. Quindi quello deve essere un minimo locale e globale.
Procediamo comunque: la matrice delle derivate seconde (detta hessiana), nel caso di due variabili, è in generale:
[tex]\begin{bmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \end{bmatrix}[/tex]
La dobbiamo valutare nel punto critico: in questo caso però è costante (non dipende né da [tex]x[/tex], né da [tex]y[/tex]), e pari a:
[tex]\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}[/tex]
Avevamo parlato di autovalori, in questo caso non serve tirarli in ballo: nel caso bivariato, si guardano (i) il determinante e (ii) l'elemento in alto a sinistra (sarebbe del tutto equivalente guardare quello in basso a destra). Se (i) è negativo, il punto non é nè massimo nè minimo (è sella, ovvero massimo rispetto ad una direzione e minimo rispetto all'altra); se (i) è nullo, servono in generale verifiche ulteriori; se (i) è positivo, guardiamo (ii): se è positivo, siamo in presenza di minimo, se è negativo siamo in presenza di massimo. In questo caso è positivo, dunque il punto è un minimo locale; per le considerazioni già svolte, esso è anche globale.
Notare che, in virtù del fatto che l'elemento in alto a destra coincide con quello in basso a sinistra, se (i) è positivo (ii) non può essere nullo (il determinante verrebbe l'opposto di un quadrato, mai positivo), e l'elemento in alto a sinistra e quello in basso a destra devono avere lo stesso segno (altrimenti il determinante sarebbe pari all'opposto di un quadrato diminuito di qualcosa, a maggior ragione mai positivo). Per questo è indifferente considerare uno o l'altro come (ii).
Svolgimento: Innanzitutto leggiamo attentamente il testo del problema: esso ci richiede di determinare il minimo, e da tale formulazione si evince già che questa quantità esiste. Ok, potrebbe esserci una fregatura assurda del tipo che c'è tra le risposte "non ha minimo" (per esempio in una provinciale) oppure che in una gara a squadre la risposta da dare è quella relativa a "il problema non ha soluzione", ma è enormemente improbabile.
Cerchiamo i punti critici: tali punti sono tutti e soli quelli che soddisfano [tex](\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}) = (2x+y, x+2y) = (0,0)[/tex], che ha come unica soluzione la coppia [tex](x,y)=(0,0)[/tex], in cui la funzione vale [tex]0[/tex].
Il fatto che ci sia un unico punto critico dovrebbe già permettere di trarre le conclusioni: stiamo lavorando su di un dominio illimitato, non c'è un bordo sul quale possono essere assunti valori più piccoli, e se in qualche direzione la funzione decrescesse illimitatamente, allora non avrebbe minimo, la cui esistenza abbiamo invece noi dato per assodata. Quindi quello deve essere un minimo locale e globale.
Procediamo comunque: la matrice delle derivate seconde (detta hessiana), nel caso di due variabili, è in generale:
[tex]\begin{bmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \end{bmatrix}[/tex]
La dobbiamo valutare nel punto critico: in questo caso però è costante (non dipende né da [tex]x[/tex], né da [tex]y[/tex]), e pari a:
[tex]\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}[/tex]
Avevamo parlato di autovalori, in questo caso non serve tirarli in ballo: nel caso bivariato, si guardano (i) il determinante e (ii) l'elemento in alto a sinistra (sarebbe del tutto equivalente guardare quello in basso a destra). Se (i) è negativo, il punto non é nè massimo nè minimo (è sella, ovvero massimo rispetto ad una direzione e minimo rispetto all'altra); se (i) è nullo, servono in generale verifiche ulteriori; se (i) è positivo, guardiamo (ii): se è positivo, siamo in presenza di minimo, se è negativo siamo in presenza di massimo. In questo caso è positivo, dunque il punto è un minimo locale; per le considerazioni già svolte, esso è anche globale.
Notare che, in virtù del fatto che l'elemento in alto a destra coincide con quello in basso a sinistra, se (i) è positivo (ii) non può essere nullo (il determinante verrebbe l'opposto di un quadrato, mai positivo), e l'elemento in alto a sinistra e quello in basso a destra devono avere lo stesso segno (altrimenti il determinante sarebbe pari all'opposto di un quadrato diminuito di qualcosa, a maggior ragione mai positivo). Per questo è indifferente considerare uno o l'altro come (ii).
Re: Nozioni di calcolo infinitesimale
Typo nell'hessiana, l'elemento (2,1) ha le derivate parziali scambiate-anche se, finché ti limiti a maneggiare polinomi, c'è Schwarz che ti salva.
Re: Nozioni di calcolo infinitesimale
Vero, può essere utile la tua specificazione: io ho già dato per assunto la cosa, anche perché, al di fuori dei polinomi, se non vale Schwarz sulle derivate seconde significa che la funzione non è [tex]C^2[/tex], e pure quando estenderò il discorso a funzioni di tipo diverso, supporrò sempre almeno la derivabilità due volte, visto che le funzioni che escono alle gare la maggior parte delle volte lo sono (e se ci sono valori assoluti o radici quadrate, consiglio un approccio non analitico, anche perché come ho detto questo specchietto vuole essere un rapido ausilio complementare, chi volesse approfondire davvero potrebbe trovare molto di più in testi e dispense di assoluta facile reperibilità).enigma ha scritto:Typo nell'hessiana, l'elemento (2,1) ha le derivate parziali scambiate-anche se, finché ti limiti a maneggiare polinomi, c'è Schwarz che ti salva.
D'altro canto se succede ciò le derivate seconde potrebbero esistere ma non su tutto il dominio e non essere continue, e in tal caso l'hessiana non può essere in generale utilizzata per caratterizzare i punti critici.