Esistenza e unicità della radice quadrata

Oltre la matematica elementare: teoria, esercizi, e riflessioni sulle varie branche della matematica che si fanno all'università.
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Gizeta
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Esistenza e unicità della radice quadrata

Messaggio da Gizeta »

Questa dimostrazione mi piace molto e credo getti una luce fondamentale sul sistema dei numeri reali.

Per ogni dimostrare che l'equazione ha una e una sola soluzione in .

Lemma utile
Testo nascosto:
Per ogni reale esiste un reale t.c
Serve l'assioma di completezza del sistema dei numeri reali (Dati due qualsiasi insiemi e tali che per ogni loro elemento valga esiste un elemento t.c. , tale elemento è detto "elemento separatore" [ma non sarà che...]).

Questi sono i pezzi, a voi la ricostruzione (ho dato tutti questi elementi di proposito perché mi piacerebbe che provassero anche i più giovani: lo trovo molto istruttivo) :mrgreen:
Gizeta
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Re: Esistenza e unicità della radice quadrata

Messaggio da Gizeta »

Non ha risposto nessuno :cry:
L'ho postato anche per sistemare errori tipici dei meno esperti come .

Il lemma si dimostra molto facilmente, infatti è sufficiente prendere per essere sicuri che o , infatti se entrambe fossero false si avrebbe , assurdo.

L'unicità è in egual modo banale, dacché implica in

L'esistenza è un pochino più complicata, ma non disperiamo.

I casi e sono banali, se allora , , e ha un'unica soluzione, come si vedrà ora.

Consideriamo i due insieme e , essi sono non vuoti in quanto in è indubbiamente presente e in è presente stesso, inoltre si ha , quindi per l'assioma di completezza esiste tale che . Dimostriamo che è proprio .

Supponiamo per assurdo ciò non sia vero, allora si presentano due casi: e

, allora per il lemma esiste tale che , quindi , ma perché dunque non è elemento separatore. Assurdo.

allora esiste tale che allora , ma e ancora una volta non è elemento separatore. Assurdo.

L'unica soluzione in di viene indicata con il simbolo .
Ultima modifica di Gizeta il 18/11/2014, 6:31, modificato 1 volta in totale.
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Ale99
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Re: Esistenza e unicità della radice quadrata

Messaggio da Ale99 »

Quell'errore ( o orrore , dipende dai gusti ) lo ho trovato anche nell'Hallidey vol.2 quarta edizione , nell'appendice inerente ai simboli matematici ...
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nil
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Re: Esistenza e unicità della radice quadrata

Messaggio da nil »

ti piacciono le lettere greche? :P
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Ale99
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Re: Esistenza e unicità della radice quadrata

Messaggio da Ale99 »

Si ma me ne sono accorto in un altro modo . Lo avevo in Pdf e aprendo una pagina random lo ho notato ...
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afullo
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Re: Esistenza e unicità della radice quadrata

Messaggio da afullo »

Non capisco perché i libri di terza media lo riportino.
Peterinik
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Re: Esistenza e unicità della radice quadrata

Messaggio da Peterinik »

Definendo i reali come tagli di Dedekind, la completezza "archimedea", cioe' l'esistenza dell elemento separatore di due classi, minorante e maggiorante, o, del tutto equivalente, l'esistenza del sup (minimo della classe dei maggioranti) e dell'inf (massimo della classe dei maggioranti) e' un teorema, la cui dimostrazione e' fondata sulla teoria assiomatica degli insiemi; analogamente, nell'ambito della definizione dei reali come allineamenti decimali Infiniti (cioe' particolari successioni con condominio finito) la completezza e' dimostrabile sulla base del teorema di ricursione numerabile
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