Febbraio n 14 2019

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math1729
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Febbraio n 14 2019

Messaggio da math1729 »

Allora salve a tutti, il problema chiede di trovare tutte le coppie (x,y) in modo che $x+y=2^a$ e $xy+1=2^b$.
Ma dato x+y=2^a allora x è pari e y è pari o x è dispari ed y è dispari, ma se $xy+1=2^b$ allora $xy$ è dispari. Allora x è dispari ed y è dispari.
Poi noto anche provando con casi piccoli che per far in modo che $x+y=2^a$ x deve essere $(2^a-1)$ in modo che sommando sempre con 1 ho una potenza di due e noto anche che y deve essere uguale a 1.
Quindi ho:

3+1=4
3*1+1=4

7+1=8
7*1+1=8

Quindi le soluzioni saranno del tipo $(2^a-1, 1)$ e $(1, 2^a-1)$, la mia risposta quindi sarebbe stata 20

Però la soluzione ufficiale è molto più rigorosa, in pratica io ho dato per scontato che x fosse diverso da y ma la soluzione lo dimostra. E fin qui okay. Poi arriva a dire che $(x-1)(y-1)≥0$
Allora $b>a$
******Da dove esce quella disuguaglianza??

Poi dice che dalla seconda equazione del sistema deduciamo x e y devono essere dispari tale che $x=2^a+k$ e $y=2^b-k$
****** Da dove esce il fatto che $x=2^a+k $ e $y=2^b-k$,???

Poi continua dicendo che sostituendo dalla seconda equazione otteniamo $2^{2a−2}−k^2+ 1 = 2^b$. Dato che $k= 2m+ 1$ abbiamo $4m(m+ 1)$=$2^{2a}−2−2b= 2b(2^{2a}−2−b−1)$ che implica $(m+ 1)=2^{b−2}(2^{2a−2−b}−1)$.

Se m=0 allora otteniamo coppie nella forma $(2^{a−1}−1,2^{a−1}+ 1)$
********Perché?

E poi fa anche il caso $m≥1$, $m≥2^{b−2}−1$ e quindi $m(m+ 1)≥2^b−2(2^{b−2−1})$
$2a−2−b≥b−2$ che implica $a≥b$. Ma avevamo gia' osservato che $b≥a$, dunque $a=b$, ovvero $(x−1)(y−1)=0$ e dunque le coppie sono del tipo ($1,2^{a−1})$, assieme alle loro simmetriche

******Da dove esce il fatto che $m≥2^{b−2−}-1$


Mi potreste aiutare per favore?, grazie tante!
afullo
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Re: Febbraio n 14 2019

Messaggio da afullo »

math1729 ha scritto:Però la soluzione ufficiale è molto più rigorosa, in pratica io ho dato per scontato che x fosse diverso da y ma la soluzione lo dimostra. E fin qui okay.
In realtà, più che dimostrarlo, dice che $x=y$ implica $x=y=1$, trovando una sola coppia (che però fa parte dell'insieme delle coppie).
math1729 ha scritto:Poi arriva a dire che $(x-1)(y-1)≥0$
Allora $b>a$
******Da dove esce quella disuguaglianza??
$x$ e $y$ sono entrambi positivi, quindi $x-1$ e $y-1$ sono entrambi non negativi.
D'altro canto, $2^b-2^a=(xy+1)-(x+y)=xy-x-y+1=(x-1)(y-1)≥0$, quindi $2^b≥2^a$, da cui $b≥a$.
math1729 ha scritto:Poi dice che dalla seconda equazione del sistema deduciamo x e y devono essere dispari tale che $x=2^a+k$ e $y=2^b-k$
****** Da dove esce il fatto che $x=2^a+k $ e $y=2^b-k$,???
A dire il vero menziona come $x=2^{a-1}-k$ e $y=2^{a-1}+k$, il motivo è che, se $x+y=2^a$, allora uno dei due è la metà più qualcosa, e l'altro dei due è la metà meno quel qualcosa; $k$ è dispari in quanto $2^{a-1}$ è pari, essendo $a≥2$ altrimenti si ricade nel caso $x=y=1$.
math1729 ha scritto:Poi continua dicendo che sostituendo dalla seconda equazione otteniamo $2^{2a−2}−k^2+ 1 = 2^b$. Dato che $k= 2m+ 1$ abbiamo $4m(m+ 1)$=$2^{2a}−2−2b= 2b(2^{2a}−2−b−1)$ che implica $(m+ 1)=2^{b−2}(2^{2a−2−b}−1)$.

Se m=0 allora otteniamo coppie nella forma $(2^{a−1}−1,2^{a−1}+ 1)$
********Perché?
Se $m=0$, allora $k=1$, basta poi sostituire nelle espressioni $x=2^{a-1}-k$ e $y=2^{a-1}+k$.
math1729 ha scritto:E poi fa anche il caso $m≥1$, $m≥2^{b−2}−1$ e quindi $m(m+ 1)≥2^b−2(2^{b−2−1})$
$2a−2−b≥b−2$ che implica $a≥b$. Ma avevamo gia' osservato che $b≥a$, dunque $a=b$, ovvero $(x−1)(y−1)=0$ e dunque le coppie sono del tipo ($1,2^{a−1})$, assieme alle loro simmetriche

******Da dove esce il fatto che $m≥2^{b−2−}-1$
Dal fatto che, se $m$ è divisibile per $2^{b-2}$, allora $m≥2^{b-2}$, mentre se è $m+1$ ad essere divisibile per $2^{b-2}$, allora $m+1≥2^{b-2}$, da cui $m≥2^{b-2}-1$. In ogni caso quest'ultima vale, perché $2^{b-2}>2^{b-2}-1$.
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