Valori interi di una funzione

Numeri interi, divisibilità, primalità, ed equazioni a valori interi.
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Kurokku
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Valori interi di una funzione

Messaggio da Kurokku »

Buonasera ragazzi, avrei bisogno di aiuto con questo problema:
Sia data la funzione [tex]f(x)=\dfrac{3^x-1}{2^x-1}[/tex].

Si dimostri che l'unico punto a coordinate intere è [tex]P(1,2)[/tex].
Ho scomposto il numeratore [tex]3^x-1=2(3^{x-1}+3^{x-2}+\cdot\cdot\cdot+3+1)[/tex], quindi, siccome il denominatore è sempre dispari, affinché [tex]f(x)\in\mathbb{Z}[/tex] occorre che [tex]2^x-1\;|\;3^{x-1}+3^{x-2}+\cdot\cdot\cdot+3+1[/tex]. Tuttavia non riesco a mostrare che questo accade solo per [tex]x=1[/tex].

Grazie mille
afullo
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Re: Valori interi di una funzione

Messaggio da afullo »

Per [tex]x=2m[/tex] pari non può accadere in quanto [tex]3 \, | \, (2^m-1)(2^m+1)[/tex], dal momento che dati i tre numeri consecutivi [tex]2^m-1, 2^m, 2^m+1[/tex] ce n'è uno divisibile per 3, che non può essere [tex]2^m[/tex] per ovvi motivi; ma 3 non divide la somma di potenze di 3 contenente anche [tex]3^0[/tex], essendo 1 il resto della sua divisione per 3.

Per [tex]x[/tex] dispari sembra farsi più difficile...
Kurokku
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Re: Valori interi di una funzione

Messaggio da Kurokku »

Grazie!

Se [tex]x=2m+1[/tex] ([tex]m\in\mathbb{Z}[/tex]), il numeratore diventa [tex]3^{2m+1}-1\equiv -1\equiv 2\;\text{(mod 3)}[/tex] e il denominatore [tex]2^{2m+1}-1\equiv (-1)^{2m+1}-1\equiv -2\equiv 1\;\text{(mod 3)}[/tex]. Forse questi resti possono aiutare nella risoluzione?
afullo
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Re: Valori interi di una funzione

Messaggio da afullo »

Ci stavo pensando anch'io, però da soli non sembrano fornire molte informazioni. Un numero che diviso per 3 dà resto 2 può essere o non essere divisibile per un numero che diviso per 3 dà resto 1, senza riuscire a dare una caratterizzazione particolare: per esempio, se a denominatore poniamo 7, a numeratore non vanno bene 8, 11, 17, 20, ma va bene 14. Ciò che fa la differenza è la presenza del fattore 7, che non può essere investigata dal solo studio dei resti modulo 3...
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