soluzioni vecchie gare nazionali

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ronny
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soluzioni vecchie gare nazionali

Messaggio da ronny »

Ciao,

si trovano da qualche parte testi e soluzioni delle gare nazionali degli anni '90?

Ho una serie di giochi tratti dal quel periodo e sarei curioso di leggere le soluzioni.

Ronny
afullo
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Re: soluzioni vecchie gare nazionali

Messaggio da afullo »

Qui si va indietro fino al 1997, tu vuoi ancora prima? Ci sono due libri di testi e soluzioni delle tre fasi, uno per il periodo 1988-1994, l'altro (che possiedo) per il periodo 1995-2001.
ronny
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Re: soluzioni vecchie gare nazionali

Messaggio da ronny »

Sì, ho dei giochi di combinatoria presi da nazionali dei primi anni '90.
Per curiosità, qual è il testo?

Ti propongo un problema, magari mi sai dare un indizio per arrivare alla soluzione:

(dalla gara n azionale del 1990)
Alcune palline sono distribuite in 2n+1 sacchetti. Supponiamo che, tolto un qualunque sacchetto, sia possibile suddividere i rimanenti in due grupi di n sacchetti, in modo che ciascun gruppo contenga lo stesso numero complessivo di palline. Dimostrare che ogni sacchetto contiene lo stesso numero di palline.

Io per ora ho osservato che se una certa distribuzione funziona, allora se tolgo una pallina ad ogni sacchetto, ottengo un'altra distribuzione che funziona.
Questo perchè otterrei che tolgo n palline ad ogni gruppo in cui suddivido.
Quindi detto k il numero di palline contenute nel sacchetto che ne contiene di meno, allora se tolgo k palline a tutti mi porto in una situazione in
cui un sacchetto ha 0 palline.
Speravo di poter sfruttare questa cosa, ma per ora non ci sono riuscito. Ora ogni volta che suddivido in due gruppi ho, apparte un caso, un'equazione
dove a sinistra ho la somma di n-1 sacchetti e a destra la somma di n sacchetti. Che può essere vista come un'equazione dove le incognite (le quantità di palline nei sacchetti) hanno coefficienti "1", "-1" o "0". Mi sembra che si ottiene un sistema lineare omogeneo, quindi se dimostrassi che le equazioni
sono linearmente indipendeti allora significherebbe che l'unica soluzione è che tutte le incognite siano 0. Quindi prima erano tutte k.

Non so se mi sono spiegato. Però mi sono fermato qui.

Ho provato anche con la tecnica dell'estremale, ma non sono riuscito a farla funzionare per ora...
afullo
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Re: soluzioni vecchie gare nazionali

Messaggio da afullo »

ronny ha scritto: 24/11/2021, 8:24 Sì, ho dei giochi di combinatoria presi da nazionali dei primi anni '90.
Per curiosità, qual è il testo?
I testi sono:

F. Conti, M. Barsanti, T.Franzoni: Le Olimpiadi della Matematica — Problemi dalle gare italiane dal 1988 al 1994, Zanichelli (1994)
F. Conti, M. Barsanti, C. De Lellis, T.Franzoni: Le Olimpiadi della Matematica — Problemi dalle gare italiane dal 1995 al 2001, Zanichelli (2002)

vale a dire le referenze [2] e [3] delle nostre dispense olimpioniche.
ronny ha scritto: 24/11/2021, 8:24Ti propongo un problema, magari mi sai dare un indizio per arrivare alla soluzione:
Prova ad esplicitare quel sistema lineare omogeneo per valori di [tex]n[/tex] piccoli, e valuta ciò che succede.
ronny
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Re: soluzioni vecchie gare nazionali

Messaggio da ronny »

Per n=5, ho 4 incognite. Con questo numero piccolo mi sembra di vedere che tutte devono essere 0.
Ma non riesco ad estendere a "n" qualsiasi :((
afullo
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Re: soluzioni vecchie gare nazionali

Messaggio da afullo »

Come viene esplicitamente il sistema? Guarda se la matrice dei coefficienti ha una struttura particolare, magari puoi dimostrare che non è mai singolare (se ho capito bene è quadrata) con risultati di algebra lineare, anche se forse non è la soluzione pensata per dei liceali...
ronny
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Re: soluzioni vecchie gare nazionali

Messaggio da ronny »

l'omogeneo viene una roba del genere (esempio 2n+1=7):

0 1 1 1 -1 -1 -1
0 0 1 -1 1 -1 -1
0 1 0 -1 1 -1 -1
0 1 -1 0 -1 -1 1
0 -1 1 -1 0 1 -1
0 1 -1 1 -1 0 -1
0 1 1 -1 -1 -1 0

La prima colonna è 0 in quanto ho assunto di aver azzerato la prima incognita (per quanto detto all'inizio).
Poi abbiamo la diagonale a 0 in quanto rappresenta il sacchetto tolto.
In ogni riga avremo "n-1", quindi 2, volte il coefficiente "1" e "n", cioè 3, volte il coefficiente "-1" (o il viceversa).
Io ho messo gli "1" e i "-1" a caso in quell'esempio.

Cosa intendi per "singolare"?

Sono arrugginito in algebra lineare. Mi viene in mente che potremmo togliere la prima colonna ed una riga (che rappresentano
appunto la prima incognita che ho azzerato) ed analizzare la 6x6.
Se il rango fosse 6 (determinante diverso da 0 quindi) avremmo che le sei colonne sono indipendenti
e quindi le 6 varibili corrispondenti avrebbero come unica soluzione 0.
Giusto?
Però non so come dimostrarlo.
afullo
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Re: soluzioni vecchie gare nazionali

Messaggio da afullo »

Ok. In realtà togliendo la prima incognita, che di fatto non compare nel sistema (avendo tutti coefficienti zero), si ottiene un sistema non quadrato (quindi non parliamo di matrice "singolare", che significa quadrata e avente determinante zero), in questo caso di 7 equazioni in 6 incognite. La cosa non è un problema: è pur sempre omogeneo, quindi di sicuro c'è almeno la soluzione tutta nulla.

Bisogna però accertarsi che non ce ne siano altre: se il rango è 6 questo è vero, altrimenti no (l'insieme delle soluzioni è uno spazio vettoriale non banale). C'è un modo di piazzare gli 1 e i -1 in una maniera almeno un minimo fissata, o in teoria bisognerebbe provare per ogni loro configurazione? Nel primo caso, si può provare a vedere cosa succede riducendola...
ronny
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Re: soluzioni vecchie gare nazionali

Messaggio da ronny »

Forse dei vincoli sul piazzamento di "1" e "-1" ci sono. I due "1" a fronte di 3 "-1" in una riga significano che quelle due incognite
pesano come la somma delle altre tre e quindi almeno una delle due è maggiore delle altre tre. Ma non saprei come usarlo per
determinare questi vincoli. Sto cercando di capire se si può dimostrare che tutti i sotto determinanti vengono sempre
"1" o "-1". Potrebbe aiutare a dimostrare che alla fine non si avrà mai determinante nullo.
Ma sono bloccato :(
ronny
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Re: soluzioni vecchie gare nazionali

Messaggio da ronny »

afullo ha scritto: 24/11/2021, 12:58 F. Conti, M. Barsanti, T.Franzoni: Le Olimpiadi della Matematica — Problemi dalle gare italiane dal 1988 al 1994, Zanichelli (1994)
F. Conti, M. Barsanti, C. De Lellis, T.Franzoni: Le Olimpiadi della Matematica — Problemi dalle gare italiane dal 1995 al 2001, Zanichelli (2002)
Ho provato a cercarli, ma mi sembra di capire che sono fuori commercio :(

Il primo l'ho trovato in rete in pdf. Vediamo se trovo anche il secondo ;)

Mi sarebbe piaciuto averli in cartaceo.
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